Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous.
f est une fonction définie sur  [tex]\mathbb{R}[/tex] par    [tex]f(x)=\frac{2x+2}{e^x+2}[/tex].
On nous donne une fonction auxilliaire   [tex]g(x)=2-xe^x[/tex] qui s'annule en    [tex]0,8<\alpha<0,9[/tex].La dérivée f' a le signe de g.La fonction f admet un maximum sur R en   [tex]f(\alpha)=\alpha[/tex].Elle est croissante sur
[tex]]-\infty;\alpha][/tex] et  décroissante sur   [tex][\alpha;+\infty[[/tex].
Question:résoudre graphiquement l'équation  f(x)=f(m) selon les valeurs du paramètre réel m.

Ce que j'ai répondu:f(x)=f(m)   [tex]\Longleftrightarrow[/tex]   [tex]\begin{cases}y=f(x)\\y=f(m)\end{cases}[/tex].
Si  m<-1  et comme f est croissante sur cet intervalle  f(m)<f(-1)  d'ou f(m)<0 l'équation admet une solution unique.
Si m=-1  et f(m)=f(-1) donc f(m)=0;l'équation admet la solution x=-1.
Si  [tex]-1<m<\alpha[/tex] et comme f est croissante sur cet intervalle  [tex]f(-1)<f(m)<f(\alpha)[/tex]  donc 
[tex]0<f(m)<\alpha[/tex] ;l'équation admet deux solutions.
Si  [tex]m=\alpha[/tex] l'équation a une solution double   [tex]x=\alpha[/tex].
Si  [tex]m>\alpha[/tex]  et comme f est décroissante sur cet intervalle   [tex]0<f(m)<f(\alpha)=[/tex]  donc   [tex]0<f(m)<\alpha[/tex] ;l'équation admet
deux solutions.
D'habitude,on nous demande de résoudre graphiquement f(x)=m,qui est facile,mais c'est la 1ere fois que je vois ça.
Je ne sais pas si mes réponses sont correctes.
Je vous prie,s'il vous plait,me corriger et éventuellement ,si vous le voulez bien, me donner quelques conseils.

Bonjour à tous.
La fonction définie sur ]0;+oo[ par  [tex]f(x)=\frac{5lnx}{\sqrt{x}}[/tex] et   [tex]\Gamma[/tex] la courbe de f.
PARTIE I-1°-Etudiez f (limites et tableau de variations.
2°-Déterminez l'équation de la tangente (T) puis tracez    [tex]\Gamma[/tex] et (T).
PARTIE II-
1°-Justifiez l'affirmation :<< l'équation f(x)=-5 admet une solution unique   [tex]\alpha[/tex] et   [tex]0,4<\alpha<0,6[/tex].>>
2°-a) On pose pour x>0    [tex]h(x)=e^{-\sqrt{x}}[/tex].
Montrez que    [tex]h(\alpha)=\alpha[/tex].
b)Calculez h'(x) et montrez que pour tout x>0    0,4<h(x)<0,6  et    [tex]|h'(x)|\leq{|0,43|}[/tex].
3°-   [tex]u_0=0,4 ; U_{n+1}=h(U_n)[/tex].n est un entier naturel.
a)Montrez que      [tex]0,4\leq{U_n}\leq{0,6}[/tex].
b)Montrez que pour tout n    [tex]|U_{n+1}-\alpha|\leq{0,43}|U_n-\alpha|[/tex].
c) Montrez que    [tex]|U_n-\alpha|\leq{0,2(0,43)^n}[/tex].
d)En déduire que  la suite (Un) converge vers le réel   [tex]\alpha[/tex].

Mon travail.
Je vous épargne la 1ere partie qui ne contient aucune difficulté.Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
m'a permis d'encadrer    [tex]\alpha[/tex] solution de f(x)=-5.
Dans la 2eme partie,la question 3.b me pose problème.J'ai bien vu qu'il faut partir de :
[tex]\frac{|U_{n+1}-\alpha|}{|U_n-\alpha|}[/tex].En remarquant que   [tex]U_{n+1}=h(U_n)[/tex] et    [tex]\alpha=h(\alpha)[/tex] on peut donc écrire
[tex]\frac{|h(U_n)-h(\alpha)|}{|U_n-\alpha|}[/tex] qui est ,je crois,un taux de variations.Cela me permettra,en passant à la limite, d'utiliser l'encadrement de h'(x) mais je ne vois pas comment bien écrire tout ça.
Je vous prie,si vous le voulez bien,maider par vos conseils.Merci.

Bonjour à tous.
(O;i;j) est un repère orthonormé.A(7;12) ,B(7;0) et C(0;12).
1°-Déterminer les coordonnées entières des points appartenant à (OA) et contenues dans le rectangle ABOC.
2°-Résoudre dans Z² les équations  :12x-7y=1 et 12x-7y=-1.
3°-Montrer qu'à l'intérieur de ABOC,il existe deux points I et J de coordonnées entières dont la distance à (OA) est la
plus petite possible.

1°-J'ai déterminé l'équation de la droite (OA) :12x-7y=0 équivalente à 12x=7y.En appliquant le théorème de Gauss on
a les solutions entières  S={(7k;12k)} avec k appartenant à Z.
En attribuant à k les valeurs 0 et 1 ,on a les deux seuls points de coordonnées entières de (OA) et dans ABOC.Ce sont O et A.
2°-La résolution des deux équations a donné pour 12x-7y=1 les solutions S={(7m+3;12m+5)} et pour 12x-7y=-1
les solutions S={(7n-3;12n-5)}.
3°-Les seuls points à coordonnées entières contenus dans ABOC et appartenant aux deux  droites sont G(3;5) et
H(4;7).J'ai calculé les distances d(G;(OA))=1/V193 et d(H;(OA))=1/V193.
J'ai supposé qu'il existait un point M(x;y) dans ABOC dont la distance à (OA) serait plus petite que 1/V193.
En calculant d(M;(OA))=|12x-7y|/V193<1/V193 équivalent à  -1<12x-7y<+1.Le cas 0 étant exclu,toute équation
12x-7y=un nombre décimal n'a pas de solution entières.Les points G et H sont I et J cherchés.
Je ne suis pas du tout sur de ce dernier argument.Il ne me parait pas trés "mathématique" (on ne l'a pas vu en cours).
Je vous remercie de corriger et de me donner une indication.
Mon pc ayant des problèmes,je n'ai pas utilisé le Latex.Je vous prie de m'en excuser.

Bonjour à tous.
1°-On a encadré une surface à l'aide de deux suites adjacentes (f(x)=1/x) et Un=(1/n+1)+...+(1/2n) et Vn=(1/n)+..+(1/2n-1) et on a trouvé limS=ln2).Une primitive de la fonction continue f(x)=1/x est lnx. Dériver en un point donne une pente,pourquoi le fait de primitiver donne une aire ?
2°-Je ne comprends pas du tout la notion de moyenne d'une fonction f déterminée en fonction de  l'intégrale de f .Serait-elle applicable uniquement dans le domaine des probabilités(variable continue) ?
J'aimerais bien,s'il vous plait, quelques explications et merci.

Bonjour à tous.
Montrez que pour tout n>0  2x6x10x....x(4n-2)=(n+1)(n+2)......(2n) [c'est un produit].
On utilise un raisonnement par récurrence pour établir cette égalité.
1°-Initialisation:
pour n=1  on a  2=(1+1).P1 est vrai.
2°-Hérédité:
On montre que pour tout n>0 
Si  2x6x...x(4n-2)=(n+1)(n+2)...(2n)   alors 2x...x(4n-2)(4n+2)=(n+1)....(2n)(2n+1).
On suppose vrai  2x6x....x(4n-2)=(n+1)(n+2)....(2n).On multiplie les deux membres par (4n+2).On obtient :
2x6x....(4n-2)(4n+2)=(n+1)(n+2).....(2n)[2(2n+1)]=(n+1)(n+2)......(2n)(2)(2n+1).
Je n'arrive pas à m'expliquer la présence du nombre 2..
Pourquoi au rang (n+1) le 2eme membre doit s'écrire (n+1)(n+2)....(2n)(2)(2n+1) ? Il m'a semblé évident de l'écrire  (n+1)(n+2)....(2n)(2n+1) ,ce qui n'est, bien sur ,pas exact.
Je vous remercie.

Bonjour à tous.
Si   [tex]z=re^{ia}[/tex] et   [tex]z'=r'e^{ia'}[/tex],montrer l'équivalence:
[tex]|z+z'|=|z-z'|\Longleftrightarrow{a'=a+\frac{\pi}{2}[\pi]}[/tex].

J'ai seulement réussi à démontrer l'implication  [tex]a'=a+\frac{\pi}{2}[\pi]\Longrightarrow{|z+z'|=|z-z'|}[/tex].
Si a'=a+(pi/2)+kpi alors  [tex]z'=r'e^{i(a+\frac{\pi}{2}+k\pi}=r'e^{ia}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{ik\pi}=(-1)^{n}ir'e^{ia}[/tex] donc  [tex]z'=(-1)^{n}ir'e^{ia}[/tex] et   [tex]z=re^{ia}[/tex] .
On a donc   [tex]z+z'=e^{ia}[(-1)^{n}ir'+r][/tex]  et    [tex]z-z'=e^{ia}[(-1)^{n}ir'-r][/tex].Un calcul simple des
modules montre donc que si   [tex]a'=a+\frac{\pi}{2}+k\pi\Longrightarrow{|z+z'|=|z-z'|}[/tex].
Pour la réciproque je n'ai aucune idée.Je me suis lancé dans des calculs fastidieux (remplacer z=x+iy et z'=x'+iy' )
sans résultats.
Merci pour votre correction et votre aide.

Bonjour à tous.
Ce n'est pas la résolution de l'exercice qui me pose problème mais sa compréhension.
Soit z =x+iy tel que  [tex](x;y)\in\mathbb{R^{2*}}[/tex] et l'applition F de C dans C tel que   [tex]F(z)=Az+B\bar z[/tex] avec A et B deux réels quelconques.
1°)montrer l'équivalence  [tex]F(z)=0\Longleftrightarrow{A=B=0}[/tex].
2°)déterminer A et B pour que F(z)=z.
3°)soit l'application    [tex]f(z)=az+b\bar z[/tex] avec a et b réels.
Montrer que   [tex]fof(z)=z[/tex]     [tex]\Longleftrightarrow[/tex]    [tex]\begin{cases}a^2+b^2=1\\ab=0\end{cases}[/tex].En déduire toutes les applications f involutives.

Réponses.
2°)F(z)=0    [tex]\Longleftrightarrow{A(x+iy)+B(x-iy)=x+iy}[/tex]   [tex](A+B-1)x+iy(A-B-1)=0[/tex] et on trouve
A=1 et B=0.
3°)   [tex](fof)(z)=f[f(z)]=f(az+b\bar z)=a(az+b\bar z)+b(a\bar z+bz)=(a^{2} +b^{2})z +2ab\bar z[/tex].
On pose fof=F , A=a²+b², B=2ab.D'après la 2eme question  on obtient l'équivalence a²+b²=1 et ab=0.
En résolvant ce système on obtient les couples solutions (a=1;b=0)(a=0;b=1)(a=-1;b=0)(a=0;b=-1) donc les appli-
cations f sont f(z)=z, f(z)=z(bar) ; f(z)=-z et f(z)=-z(bar).

Sauf erreurs dans ma résolution,je ne comprends absolument pas cet exercice.
Je ne vois aucune différence entre F et f.Est-ce que F est la composée d'une homothétie(sauf que A peut etre nul) et d'une similitude plane indirecte(B peut etre nul et négatif) ? On aurait pu répondre aux questions sans utiliser les 1ere et 2eme question.Quelle est la nature de F ?
Il y a une suite au problème (étude de la transformation   [tex]g(z)=e^{i\frac{\pi}{4}}z[/tex] ) qui est facile.C'est une symétrie axiale.

Merci de m'aider.

Bonjour à tous.
C'est un problème que ma Cousine(elle prépare une Maitrise) n'a pas pu comprendre.Je l'ai prévenue que Bibm@th ne résolvait jamais un exercice à la place du demandeur.
S'il vous plait,donner lui quelques indications aux deux questions de ce problème important pour elle.
Soit X un espace vectoriel topologique localement convexe défini par une famille de sous-normes P.Soit P' une famille de sous-normes sur X telle que:
i-[tex]\forall{p'}\in{P'}[/tex];p' est continue.
ii-[tex]\forall{p}\in{P};\exists{c}>0;\exists{p'}\in{P'}/p(x)\leq{cp'(x)} ;\forall{x}\in{X}[/tex].
Montrer que :
1°)l'ensemble des boules fermées des semi-normes de P' est une base de voisinage de 0.
2°)si P' est dénombrable alors X est à base locale dénombrable.

Voici sa réponse à la 1ere question.
Si toutes boules ouvertes de semi-normes de P est une base de voisinage de 0 alors toutes boules fermées de semi-normes de P est une base de voisinage de 0 (car les boules ouvertes sont contenues dans les boules fermées).
V est une base de voisinage (il me semble qu'il manque :de 0 ? )i-e:
[tex]V(x)=\{V\,\in p(x)\,;\exists B\in \{B(x) ; B\subset{V}\}[/tex].Il est clair que V(x) est un filtre.
On pose W=(x;u).On a [tex]\forall{p}\in{P}\;;\exists{c}>0;\exists{p'}\in{P'}/p(x)\leq{cp'(x)}<cu[/tex] et u'=cu d'ou
[tex]x\in{B'(x;u')}[/tex] et on pose u<u' alors :
[tex]B(x;u)\subset B'(x;u')[/tex].B(x;u') est une base de voisinage de 0.

Merci de corriger et de lui donner quelques explications et indications.

Bonjour à tous.
Résoudre dans   [tex]\mathbb{C}[/tex] l'équation :
[tex]e^z=\sqrt{3}+3i[/tex].
[tex]e^{x+iy}=\sqrt{3}+3i[/tex]    [tex]\Longleftrightarrow{e^{x}e^{iy}=\sqrt{3}+3i}[/tex]   [tex]\Longleftrightarrow{e^{x}cosy+ie^{x}siny=\sqrt{3}+3i}[/tex]   [tex]\Longleftrightarrow{e^{x}cosy=\sqrt{3}  et  e^{x}siny=3}[/tex].
Après avoir élevé au carré ,j'ai déterminé le couple solution   [tex]S={(ln12;\frac{\pi}{3})}[/tex].
J'ai utilisé une autre méthode de résolution donnant le meme résultat.
[tex]ln(e^{z})=ln(2\sqrt{3})e^{i\frac{\pi}{3}}[/tex] .......
Je sais, par exemple, que    [tex]e^{i\pi}=-1[/tex].Le logarithme naturel d'un nombre négatif n'existant pas  ai-je commis une faute en l'introduisant dans l'équation ?
Merci de m'expliquer meme sommairement.