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alain01

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Transformations ponctuelles.

Bonjour à tous.
Ce n'est pas la résolution de l'exercice qui me pose problème mais sa compréhension.
Soit z =x+iy tel que  [tex](x;y)\in\mathbb{R^{2*}}[/tex] et l'applition F de C dans C tel que   [tex]F(z)=Az+B\bar z[/tex] avec A et B deux réels quelconques.
1°)montrer l'équivalence  [tex]F(z)=0\Longleftrightarrow{A=B=0}[/tex].
2°)déterminer A et B pour que F(z)=z.
3°)soit l'application    [tex]f(z)=az+b\bar z[/tex] avec a et b réels.
Montrer que   [tex]fof(z)=z[/tex]     [tex]\Longleftrightarrow[/tex]    [tex]\begin{cases}a^2+b^2=1\\ab=0\end{cases}[/tex].En déduire toutes les applications f involutives.

Réponses.
2°)F(z)=0    [tex]\Longleftrightarrow{A(x+iy)+B(x-iy)=x+iy}[/tex]   [tex](A+B-1)x+iy(A-B-1)=0[/tex] et on trouve
A=1 et B=0.
3°)   [tex](fof)(z)=f[f(z)]=f(az+b\bar z)=a(az+b\bar z)+b(a\bar z+bz)=(a^{2} +b^{2})z +2ab\bar z[/tex].
On pose fof=F , A=a²+b², B=2ab.D'après la 2eme question  on obtient l'équivalence a²+b²=1 et ab=0.
En résolvant ce système on obtient les couples solutions (a=1;b=0)(a=0;b=1)(a=-1;b=0)(a=0;b=-1) donc les appli-
cations f sont f(z)=z, f(z)=z(bar) ; f(z)=-z et f(z)=-z(bar).

Sauf erreurs dans ma résolution,je ne comprends absolument pas cet exercice.
Je ne vois aucune différence entre F et f.Est-ce que F est la composée d'une homothétie(sauf que A peut etre nul) et d'une similitude plane indirecte(B peut etre nul et négatif) ? On aurait pu répondre aux questions sans utiliser les 1ere et 2eme question.Quelle est la nature de F ?
Il y a une suite au problème (étude de la transformation   [tex]g(z)=e^{i\frac{\pi}{4}}z[/tex] ) qui est facile.C'est une symétrie axiale.

Merci de m'aider.

Dernière modification par alain01 (15-03-2012 01:30:06)

spiru_haret

Invité

Re : Transformations ponctuelles.

Bonsoir,

Les réponses que tu donnes semblent exactes. Les fonctions f et F sont de natures similaire : la somme de 2 fonctions :
   - une homotétie de rapport (a ou A)
   - la composée d'une homotétie de rapport b  -ou B) avec une symétrie par rapport à l'axe des réels.

Aucune idée sur le nom que pourrais avoir cet ensemble d'applications linéaires... Tu peux résoudre la question 3 directement, mais les questions d'avant permettent de te guider dans le raisonnement.

En revanche, l'application g est une rotation d'angle [tex] \frac{\pi}{4}[/tex].

++

alain01

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Re : Transformations ponctuelles.

Bonjour Spiru Haret.
J'ai "oublié" la barre sur z dans l'expression de g.C'est   [tex]g(z)=e^{i\frac{\pi}{4}}\times\bar z[/tex].On a donc bien une symétrie d'axe  [tex]y=(\sqrt{2}-1)x[/tex].
Merci beaucoup pour vos explications.