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alain01

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Etude d'une fonction.

Bonjour à tous.
f est une fonction définie sur  [tex]\mathbb{R}[/tex] par    [tex]f(x)=\frac{2x+2}{e^x+2}[/tex].
On nous donne une fonction auxilliaire   [tex]g(x)=2-xe^x[/tex] qui s'annule en    [tex]0,8<\alpha<0,9[/tex].La dérivée f' a le signe de g.La fonction f admet un maximum sur R en   [tex]f(\alpha)=\alpha[/tex].Elle est croissante sur
[tex]]-\infty;\alpha][/tex] et  décroissante sur   [tex][\alpha;+\infty[[/tex].
Question:résoudre graphiquement l'équation  f(x)=f(m) selon les valeurs du paramètre réel m.

Ce que j'ai répondu:f(x)=f(m)   [tex]\Longleftrightarrow[/tex]   [tex]\begin{cases}y=f(x)\\y=f(m)\end{cases}[/tex].
Si  m<-1  et comme f est croissante sur cet intervalle  f(m)<f(-1)  d'ou f(m)<0 l'équation admet une solution unique.
Si m=-1  et f(m)=f(-1) donc f(m)=0;l'équation admet la solution x=-1.
Si  [tex]-1<m<\alpha[/tex] et comme f est croissante sur cet intervalle  [tex]f(-1)<f(m)<f(\alpha)[/tex]  donc 
[tex]0<f(m)<\alpha[/tex] ;l'équation admet deux solutions.
Si  [tex]m=\alpha[/tex] l'équation a une solution double   [tex]x=\alpha[/tex].
Si  [tex]m>\alpha[/tex]  et comme f est décroissante sur cet intervalle   [tex]0<f(m)<f(\alpha)=[/tex]  donc   [tex]0<f(m)<\alpha[/tex] ;l'équation admet
deux solutions.
D'habitude,on nous demande de résoudre graphiquement f(x)=m,qui est facile,mais c'est la 1ere fois que je vois ça.
Je ne sais pas si mes réponses sont correctes.
Je vous prie,s'il vous plait,me corriger et éventuellement ,si vous le voulez bien, me donner quelques conseils.

Dernière modification par alain01 (14-06-2012 01:19:35)

freddy

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Re : Etude d'une fonction.

Salut,

quand tu étudies plus avant la fonction, tu remarques qu'elle est croissante de [tex]-\infty[/tex] à [tex]\alpha[/tex], puis décroissante de [tex]\alpha[/tex] vers [tex]0^+[/tex]

Tu notes aussi pour [tex]-1 \lt x \lt \alpha[/tex], f(x) admet deux antécédents, et 1 sinon.

Donc ton analyse est correcte mais ta rédaction est lourde.

si [tex]m \le -1[/tex] alors [tex]f(x)=f(m) \Leftrightarrow x=m[/tex]

si [tex]-1 \lt m \lt \alpha[/tex] alors il existe [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] tq f(x)=f(m)

et si [tex]m=\alpha[/tex], alors [tex]x=m[/tex]

je n'en dirais pas plus et laisse mes camarades faire toute remarque utile.

Dernière modification par freddy (15-06-2012 11:14:06)

alain01

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Re : Etude d'une fonction.

C'était mon dernier devoir.Je tiens à remercier,Fred,Freddy,Roro,Thadrien,Totomm et Yoshi  pour m'avoir
aidé sur une centaine de devoirs et questions de cours.
Bon été à vous tous et surtout bonne santé.

Freddy,je vous prie de m'excuser pour ce retard.