Récurrence.

alain01 · 20-04-2012 23:52:45

Bonjour à tous.
Montrez que pour tout n>0 2x6x10x....x(4n-2)=(n+1)(n+2)......(2n) [c'est un produit].
On utilise un raisonnement par récurrence pour établir cette égalité.
1°-Initialisation:
pour n=1 on a 2=(1+1).P1 est vrai.
2°-Hérédité:
On montre que pour tout n>0
Si 2x6x...x(4n-2)=(n+1)(n+2)...(2n) alors 2x...x(4n-2)(4n+2)=(n+1)....(2n)(2n+1).
On suppose vrai 2x6x....x(4n-2)=(n+1)(n+2)....(2n).On multiplie les deux membres par (4n+2).On obtient :
2x6x....(4n-2)(4n+2)=(n+1)(n+2).....(2n)[2(2n+1)]=(n+1)(n+2)......(2n)(2)(2n+1).
Je n'arrive pas à m'expliquer la présence du nombre 2..
Pourquoi au rang (n+1) le 2eme membre doit s'écrire (n+1)(n+2)....(2n)(2)(2n+1) ? Il m'a semblé évident de l'écrire (n+1)(n+2)....(2n)(2n+1) ,ce qui n'est, bien sur ,pas exact.
Je vous remercie.

amatheur · 21-04-2012 01:16:58

salut
ce qui est cloche c'est la formule que tu veux prouver pour n+1. elle doit avoir la forme suivante: [tex]\prod^{n+1}_{1}4k-2=\prod^{2n+2}_{n+2}k[/tex]
A+

freddy · 21-04-2012 09:44:06

Salut,

je crois que c'est, pour n > 0 :

prouver que [tex]\prod^{n}_{1}(4k-2)=\prod^{2n}_{n+1}k[/tex]

Remarque : [tex]\prod^{2n}_{n+1}k=\frac{(2n)!}{n!}[/tex]

Dernière modification par freddy (22-04-2012 11:19:57)

jpp · 21-04-2012 11:08:34

salut.

si j'ai bien compris , ce serait plutot :[tex]\prod_1^n{(4k - 2)} = \prod_{n+1}^{2n}{k}[/tex]

qui donne pour n=3

[tex]2\times6\times10 = \frac{6!}{3!} = 120[/tex]

on peut écrire : [tex]4k - 2 = 2\times{(2k-1)}[/tex]

ainsi: [tex]\prod_1^n{(4k - 2)} =\prod_1^n{ \left(2\times{(2k - 1)}\right) } = 2^n\times1\times3\times5\times{}....\times{(2n-1)} = 2^n \times\frac{(2n)!}{n!\times{2^n}} =\frac{(2n)!}{n!} = \prod_{n+1}^{2n} {k}[/tex]

puisque [tex]2^n\times{n!}[/tex] est le produit de tous les nombres pairs de 2 à 2n

Dernière modification par jpp (21-04-2012 15:36:50)

totomm · 21-04-2012 11:24:56

Bonjour,

OK pour jpp

et par récurrence, si n augmente de 1
le produit à gauche est multiplié par 4n+2
et le produit à droite est multiplié par (2n+1)(2n+2) / (n+1) = 2(2n+1) C.Q.F.D.

Cordialement

freddy · 21-04-2012 17:43:56

jpp a écrit :

salut.
si j'ai bien compris , ce serait plutot :[tex]\prod_1^n{(4k - 2)} = \prod_{n+1}^{2n}{k}[/tex]
qui donne pour n=3
[tex]2\times6\times10 = \frac{6!}{3!} = 120[/tex]
on peut écrire : [tex]4k - 2 = 2\times{(2k-1)}[/tex]
ainsi: [tex]\prod_1^n{(4k - 2)} =\prod_1^n{ \left(2\times{(2k - 1)}\right) } = 2^n\times1\times3\times5\times{}....\times{(2n-1)} = 2^n \times\frac{(2n)!}{n!\times{2^n}} =\frac{(2n)!}{n!} = \prod_{n+1}^{2n} {k}[/tex]
puisque [tex]2^n\times{n!}[/tex] est le produit de tous les nombres pairs de 2 à 2n

En effet, pas mieux !

A toutes fins, j'aurais écrit :

[tex]1\times (2\times 1)\times 3\times (2\times 2)\times 5\times (2\times 3)\times 7\times ...\times (2n-1)\times 2n = 2^n\times n!\times 1\times 3\times 5\times ... \times (2n-1)[/tex]

Par contre, la démonstration est directe et pas par récurrence. Je ne sais pas si c'est gênant.

Dernière modification par freddy (21-04-2012 19:25:57)

totomm · 22-04-2012 08:49:56

Bonjour,

alain01 a écrit :

Montrez que pour tout n>0 2x6x10x....x(4n-2)=(n+1)(n+2)......(2n) [c'est un produit].
On utilise un raisonnement par récurrence pour établir cette égalité.
1°-Initialisation:
pour n=1 on a 2=(1+1).P1 est vrai.
2°-Hérédité:
On montre que pour tout n>0
Si 2x6x...x(4n-2)=(n+1)(n+2)...(2n) alors 2x...x(4n-2)(4n+2)=(n+1)....(2n)(2n+1).

@alain01 : Vous avez bien vu que dans votre dernière ligne :"alors 2x....(2n+1)" n'est pas juste
dans le second membre il faut ajuster n qui devient (n+1) sans regarder dans le premier membre.

ainsi le premier facteur (n+1) devient ((n+1)+1)=(n+2) et donc (n+1) disparait
et le dernier facteur après (2n) doit être (2(n+1)) : Il faut donc écrire les facteurs (2n+1) et (2n+2) après (2n)

On n'est pas obligé, bien sûr, de démontrer par récurrence (j'ai supposé que cela vous était demandé)
la démonstration de jpp ajoutée au post #4 et validée par freddy au post #6 est probante.
Mieux vaudrait pourtant corriger l'erreur du post #3.

Cordialement

[Edit] Post #3 corrigé 22/04/2012 11:19:57 Dernière modification par freddy [/Edit]

Dernière modification par totomm (22-04-2012 15:45:15)

freddy · 22-04-2012 12:00:00

Salut,

en fait, je me rends compte que c'est beaucoup plus facile à prouver par récurrence.

On sait par jpp que c’est vrai pour n = 3.

Supposons maintenant que ce soit vrai pour n=p, soit [tex]\prod^{p}_{1}(4k-2)=\frac{(2p)!}{p!}[/tex] et regardons pour n=p+1.

On a alors : [tex]\prod^{p+1}_{1}(4k-2)=2^{p+1}\times \prod^{p}_1 (2k-1)\times (2p+1)=\frac{(2p)!}{p!}\times 2(2p+1)\times \frac{(2p+2)}{2(p+1)}=\frac{\left(2\times (p+1)\right)!}{(p+1)!}[/tex]

C'est donc vérifié pour n=p+1.

Donc c'est vérifié pour tout n > 0 (oui, on vérifie aisément que c’est OK pour n=1 ou 2 aussi).

Q. E. D

Dernière modification par freddy (22-04-2012 12:01:38)

alain01 · 24-04-2012 00:22:39

J'ai parfaitement compris Freddy.Merci à vous ainsi qu'à JPP et Totomm.
Je suis désolé pour le retard et encore merci pour votre disponibilité.

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