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alain01

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Equations diophantiennes.

Bonjour à tous.
(O;i;j) est un repère orthonormé.A(7;12) ,B(7;0) et C(0;12).
1°-Déterminer les coordonnées entières des points appartenant à (OA) et contenues dans le rectangle ABOC.
2°-Résoudre dans Z² les équations  :12x-7y=1 et 12x-7y=-1.
3°-Montrer qu'à l'intérieur de ABOC,il existe deux points I et J de coordonnées entières dont la distance à (OA) est la
plus petite possible.

1°-J'ai déterminé l'équation de la droite (OA) :12x-7y=0 équivalente à 12x=7y.En appliquant le théorème de Gauss on
a les solutions entières  S={(7k;12k)} avec k appartenant à Z.
En attribuant à k les valeurs 0 et 1 ,on a les deux seuls points de coordonnées entières de (OA) et dans ABOC.Ce sont O et A.
2°-La résolution des deux équations a donné pour 12x-7y=1 les solutions S={(7m+3;12m+5)} et pour 12x-7y=-1
les solutions S={(7n-3;12n-5)}.
3°-Les seuls points à coordonnées entières contenus dans ABOC et appartenant aux deux  droites sont G(3;5) et
H(4;7).J'ai calculé les distances d(G;(OA))=1/V193 et d(H;(OA))=1/V193.
J'ai supposé qu'il existait un point M(x;y) dans ABOC dont la distance à (OA) serait plus petite que 1/V193.
En calculant d(M;(OA))=|12x-7y|/V193<1/V193 équivalent à  -1<12x-7y<+1.Le cas 0 étant exclu,toute équation
12x-7y=un nombre décimal n'a pas de solution entières.Les points G et H sont I et J cherchés.
Je ne suis pas du tout sur de ce dernier argument.Il ne me parait pas trés "mathématique" (on ne l'a pas vu en cours).
Je vous remercie de corriger et de me donner une indication.
Mon pc ayant des problèmes,je n'ai pas utilisé le Latex.Je vous prie de m'en excuser.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Equations diophantiennes.

Salut,

Alors, déjà, petit rappel : puisque tu as accès à Internet, je ne vois pas quel(s) problème(s) ton PC peut avoir qui empêche la LateX (via MathJax de s'afficher.
L'éditeur d'équation n'est pas indispensable : tout peut se faire "à la main" sans aucune autre contrainte que la lecture et la mise en application du contenu de cette page : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943.
Mais passons...

Tiens, en attendant des réponses, tu devrais lire ce sujet : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2006
ça te donnerait peut-être des idées.

@+

freddy

Membre chevronné

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Re : Equations diophantiennes.

Bonjour à tous.

Mon sujet :

[tex](O,\vec{i};\vec{j})[/tex] est un repère orthonormé. Soient [tex]A(7;12), \,B(7;0)\, et \,C(0;12)[/tex].

1°- Déterminer les coordonnées entières des points appartenant à (OA) et contenues dans le rectangle ABOC.

2°- Résoudre dans[tex] Z^2[/tex] les équations  :[tex]12x-7y=1[/tex] et [tex]12x-7y=-1[/tex].

3°- Montrer qu'à l'intérieur de ABOC,il existe deux points I et J de coordonnées entières dont la distance à (OA) est la
plus petite possible.

Mon travail

1°- J'ai déterminé l'équation de la droite (OA) :[tex]12x-7y=0[/tex] équivalente à [tex]12x=7y[/tex].

En appliquant le théorème de Gauss on a les solutions entières  [tex]S={(7k;12k)}[/tex] avec [tex]k \in Z[/tex].

En attribuant à k les valeurs 0 et 1 ,on a les deux seuls points de coordonnées entières de (OA) et dans ABOC.Ce sont O et A.

2°- La résolution des deux équations a donné pour [tex]12x-7y=1[/tex] les solutions [tex]S={(7m+3;12m+5)}[/tex] et pour [tex]12x-7y=-1[/tex] les solutions [tex]S={(7n-3;12n-5)}[/tex].

3°- Les seuls points à coordonnées entières contenus dans ABOC et appartenant aux deux  droites sont G(3;5) et
H(4;7).

J'ai calculé les distances [tex]d(G;(OA))=\frac{1}{\sqrt{193}}[/tex] et [tex]d(H;(OA))=\frac{1}{\sqrt{193}}.[/tex]
(traduction libre de V = racine carrée ?)

J'ai supposé qu'il existait un point M(x;y) dans ABOC dont la distance à (OA) serait plus petite que [tex]\frac{1}{\sqrt{193}}[/tex]

En calculant [tex]d(M;(OA))=\frac{|12x-7y|}{\sqrt{193}} \le \frac{1}{\sqrt{193}}[/tex] équivalent à  [tex]-1<12x-7y<+1[/tex].

Le cas 0 étant exclu,toute équation  12x-7y=un nombre décimal n'a pas de solution entières.

Les points G et H sont I et J cherchés.

Je ne suis pas du tout sur de ce dernier argument.Il ne me parait pas très "mathématique" (on ne l'a pas vu en cours)
.
Je vous remercie par avance de bien vouloir me corriger et de me proposer éventuellement une indication.

Mon pc ayant des problèmes,je n'ai pas utilisé le Latex.Je vous prie de m'en excuser.

Salut,

tu fais "citer" et tu regardes comment j'ai "codé" : c'est l'enfance de l'art, surtout depuis que Fred a intégré les "boutons" idoines.

Sinon, je souligne ton effort méritoire de rédaction de la solution, c'est très bien. Allez, fais le petit effort d'apprendre les rudiments de Latex, tu verras que ta communication n'en sera qu'améliorée et qu'on pourra t'aider avec efficacité. Pour l'heure, je n'ai pas réfléchi à ton sujet, je ne me suis préoccupé que de la forme.

@+

Dernière modification par freddy (10-05-2012 08:13:27)

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Re : Equations diophantiennes.

Je vous remercie Freddy pour la correction de la forme.C'est enregistré.
Yoshi m'a signalé qu'il fallait utiliser le Latex via MathJax.Je n'avais téléchargé ce moteur.C'était la cause de mes ennuis.Maintenant,c'est réglé.
Yoshi,j'ai bien lu le lien que vous m'avez indiqué.Il utilise ,au début, le théorème de Miquel qui stipule :ABC est un triangle quelconque.P,Q,R sont trois points sur [AB],[BC],[AC].Les cercles circonscrits aux triangles APR,BPQ et CRQ
se coupent en un point unique.
Merci Yoshi.