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alain01

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r Fontion et suite.

Bonjour à tous.
La fonction définie sur ]0;+oo[ par  [tex]f(x)=\frac{5lnx}{\sqrt{x}}[/tex] et   [tex]\Gamma[/tex] la courbe de f.
PARTIE I-1°-Etudiez f (limites et tableau de variations.
2°-Déterminez l'équation de la tangente (T) puis tracez    [tex]\Gamma[/tex] et (T).
PARTIE II-
1°-Justifiez l'affirmation :<< l'équation f(x)=-5 admet une solution unique   [tex]\alpha[/tex] et   [tex]0,4<\alpha<0,6[/tex].>>
2°-a) On pose pour x>0    [tex]h(x)=e^{-\sqrt{x}}[/tex].
Montrez que    [tex]h(\alpha)=\alpha[/tex].
b)Calculez h'(x) et montrez que pour tout x>0    0,4<h(x)<0,6  et    [tex]|h'(x)|\leq{|0,43|}[/tex].
3°-   [tex]u_0=0,4 ; U_{n+1}=h(U_n)[/tex].n est un entier naturel.
a)Montrez que      [tex]0,4\leq{U_n}\leq{0,6}[/tex].
b)Montrez que pour tout n    [tex]|U_{n+1}-\alpha|\leq{0,43}|U_n-\alpha|[/tex].
c) Montrez que    [tex]|U_n-\alpha|\leq{0,2(0,43)^n}[/tex].
d)En déduire que  la suite (Un) converge vers le réel   [tex]\alpha[/tex].

Mon travail.
Je vous épargne la 1ere partie qui ne contient aucune difficulté.Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
m'a permis d'encadrer    [tex]\alpha[/tex] solution de f(x)=-5.
Dans la 2eme partie,la question 3.b me pose problème.J'ai bien vu qu'il faut partir de :
[tex]\frac{|U_{n+1}-\alpha|}{|U_n-\alpha|}[/tex].En remarquant que   [tex]U_{n+1}=h(U_n)[/tex] et    [tex]\alpha=h(\alpha)[/tex] on peut donc écrire
[tex]\frac{|h(U_n)-h(\alpha)|}{|U_n-\alpha|}[/tex] qui est ,je crois,un taux de variations.Cela me permettra,en passant à la limite, d'utiliser l'encadrement de h'(x) mais je ne vois pas comment bien écrire tout ça.
Je vous prie,si vous le voulez bien,maider par vos conseils.Merci.

freddy

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Re : r Fontion et suite.

Salut,

il suffit que tu exploites une des propriétés de la dérivée d'une fonction f dérivable en un point.

Tu as dû apprendre qu'au voisinage du point[tex] x_0,[/tex] on pouvait écrire [tex]f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\times (x-x_0) + r(x)(x-x_0)[/tex]

Calcule ou approxime le signe de r(x) pour en déduire quelque chose sur le quotient [tex]\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex].

Le travail qu'on te demande est un grand classique pour trouver la limite d'une suite avec une fonction k-lipschitsienne (avec module(k) < 1).

Bon courage !

Dernière modification par freddy (23-05-2012 11:50:32)

alain01

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Re : r Fontion et suite.

Bonsoir Freddy.
Merci d'avoir bien voulu me répondre.
Voilà ce que j'ai fait ,suivant vos indications.f est dérivable au point d'abscisse   [tex]\alpha[/tex],on peut écrire :
[tex]f(U_n)=f(\alpha)+f'(\alpha)[U_n-\alpha]+r(U_n)[U_n-\alpha][/tex]  avec   [tex]\lim_{U_n\to\alpha}r(U_n)=0[/tex].
En réecrivant l'expression :   [tex]\frac{f(U_n)-f(\alpha)}{U_n-\alpha}=f'(U_n)+r(U_n)[/tex].D'après une question
précédente on a   [tex]|f'(U_n)|\leq{0,43}[/tex].Comme    [tex]lim_{U_n\to\alpha}r(U_n)=0[/tex],en prenant la valeur absolue on obtient :
[tex]|f'(U_n)+r(U_n)|\leq{0,43}[/tex] c'est-à-dire    [tex]|\frac{f(U_n)-f(\alpha)}{U_n-\alpha}|\leq{0,43}[/tex].
Je ne crois pas avoir bien répondu car je n'ai pas trouvé,comme vous me l'indiquiez,le signe de   [tex]r(U_n)[/tex].
C'est tout ce que j'ai trouvé et je n'ai aucune idée sur la notion de fonction  k-lipschitsienne (j'ai regardé sur Wikipedia sans comprendre).
Je vous prie,s'il vous plait,de bien vouloir me donner éventuellement un complément à vos indications antérieures.
Je vous remercie Monsieur.

freddy

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Re : r Fontion et suite.

Salut,

j'ai un peu plus regardé. La fonction h est dérivable sur [tex]D_h=R_+^*[/tex] ; sa dérivée est négative, de la forme [tex]h'(x)=-\frac{\sqrt{x}}{x}h(x)[/tex]

L'équation de la tangente au point [tex]\alpha[/tex] est donnée par [tex]y=h'(\alpha)\times (x-\alpha)+h(\alpha)[/tex]

Si tu étudies le signe de [tex]h(x)-y[/tex] tu devrais vérifier que[tex] h(x) \le y[/tex].

Donc tu déduis que [tex]h(x)-h(\alpha) \le h'(\alpha)\times (x-\alpha)[/tex]

je te laisse conclure.

alain01

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Re : r Fontion et suite.

Bonjour Freddy.
Je vous remercie vivement pour ces indications.
Bonne fin de semaine à vous.