Nombres complexes.

alain01 · 03-04-2012 01:25:02

Bonjour à tous.
Si [tex]z=re^{ia}[/tex] et [tex]z'=r'e^{ia'}[/tex],montrer l'équivalence:
[tex]|z+z'|=|z-z'|\Longleftrightarrow{a'=a+\frac{\pi}{2}[\pi]}[/tex].

J'ai seulement réussi à démontrer l'implication [tex]a'=a+\frac{\pi}{2}[\pi]\Longrightarrow{|z+z'|=|z-z'|}[/tex].
Si a'=a+(pi/2)+kpi alors [tex]z'=r'e^{i(a+\frac{\pi}{2}+k\pi}=r'e^{ia}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{ik\pi}=(-1)^{n}ir'e^{ia}[/tex] donc [tex]z'=(-1)^{n}ir'e^{ia}[/tex] et [tex]z=re^{ia}[/tex] .
On a donc [tex]z+z'=e^{ia}[(-1)^{n}ir'+r][/tex] et [tex]z-z'=e^{ia}[(-1)^{n}ir'-r][/tex].Un calcul simple des
modules montre donc que si [tex]a'=a+\frac{\pi}{2}+k\pi\Longrightarrow{|z+z'|=|z-z'|}[/tex].
Pour la réciproque je n'ai aucune idée.Je me suis lancé dans des calculs fastidieux (remplacer z=x+iy et z'=x'+iy' )
sans résultats.
Merci pour votre correction et votre aide.

Dernière modification par alain01 (03-04-2012 01:28:26)

MathRack · 03-04-2012 10:52:24

Bonjour,

[tex]|z+z'| = |z-z'| \Leftrightarrow |z+z'|^2 = |z-z'|^2 = (z+\epsilon z')\overline{(z+\epsilon z')}[/tex] avec [tex]\epsilon = 1~ou~-1[/tex] et [tex]\overline{z}[/tex] le complexe conjugué de [tex]z[/tex].

[tex](z+\epsilon z')\overline{(z+\epsilon z')} = r^2 + \epsilon^2{r'}^2 + 2 \epsilon r r' cos(a - a')[/tex]

Donc [tex]|z+z'| = |z-z'| \Leftrightarrow 0 = 4 r r' cos(a - a')[/tex]

Par conséquent, [tex]|z+z'| = |z-z'| \Leftrightarrow r=0~ou~r'=0~ou~a'=a+\frac{\pi}{2} [\pi][/tex]

A priori on conserve bien l’équivalence tout au long des étapes.

++

alain01 · 04-04-2012 00:58:25

Bonjour MathRack.
Je ne connaissais pas du tout [tex]|z+z'|^2=(z+\epsilon\times{z'})(\bar z +\epsilon\times{\bar z'})[/tex].
On utilise plutot [tex]|z+z'|^2=(z+z')(\bar z +\bar z')[/tex].
J'ai juste développé et résolu une équation trigonométrique pour terminer.
Merci beaucoup Monsieur.

MathRack · 04-04-2012 09:50:20

Bonjour Alain,

J'ai utilisé le symbole [tex]\epsilon[/tex] pour calculer d'un trait [tex]|z+z'|^2[/tex] et [tex]|z-z'|^2[/tex] :
[tex]\epsilon=1 \rightarrow |z+\epsilon z'|^2 = |z+ z'|^2 = (z+z')(\overline{z}+\overline{z'})[/tex]
[tex]\epsilon=-1 \rightarrow |z+\epsilon z'|^2 = |z- z'|^2 = (z-z')(\overline{z}-\overline{z'})[/tex]

Plusieurs raisonnements peuvent donner le même résultat. Je t'en ai proposé un. Le meilleur raisonnement étant celui qui te semble naturel...

Cordialement

totomm · 04-04-2012 22:28:03

Bonsoir,

Un raisonnement qui va vous paraître simpliste mais que j'aime bien :
Soit un parallélogramme ABCD et M le milieu de CD. pour que MA=MB il faut et il suffit que ABCD soit un rectangle.
(En appelant N le milieu de AB, dans le plan complexe j'assimile z à MN et z' à MC)

Mais certains se méfient des représentations géométriques.... :-))

Cordialement

alain01 · 05-04-2012 00:15:31

Bonjour à vous.

Merci pour la précision MathRack.J'ai du mal m'exprimer car j'ai très bien compris votre méthode.
Totomm,voilà ce que j'ai compris:
[tex]||\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MC}||\Longleftrightarrow ||\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{CN}||[/tex].
Il est évident (sur la figure) qu'on a l'équivalence [tex](\overrightarrow{u};\overrightarrow{CN})=\frac{\pi}{2}+(\overrightarrow{u};\overrightarrow{MB})[\pi][/tex].
Il faudra bien entendu que je précise rigoureusement le a'=a+(pi/2)[pi], l'évidence n'est pas aussi évidente que ça.

Merci beaucoup Totomm.

totomm · 05-04-2012 09:17:09

Bonjour,

Il manque juste une "}" terminale pour que LaTex soit satisfait....Je vois putôt [tex]||\vec{MA}||\ que\ ||\vec{CN}|| \ car \ \vec{MD} = -\vec{MC}[/tex]...

Quant à [tex]a'=a+(\pi/2)[\pi][/tex], il suffit de dire le parallélogramme ABCD peut être tracé dans le sens direct (trigonométrique) ou inverse, et seulement de ces deux façons.

l'égalité des diagonales dans un rectangle se démontre très bien géométriquement,
et même avant de trouver le développement trigonométrique de cos(a-a') qui aussi se démontre géométriquement...

Mais je voulais juste souligner que la diversité des approches est des plus fécondes et permet en général de bien appréhender les solutions :-))

Cordialement

yoshi · 05-04-2012 09:27:07

Re,

Il manque juste une "}" terminale pour que LaTex soit satisfait

Je ne vois pas en quoi LaTeX n'est pas satisfait !
J'ai déjà passé 10 min, il y a déjà 1/2 h, à rectifier le post d'alain01 où aucune formule ne s'affichait (relecture !!!)...
Et il n'y avait pas un manque d'accolade, mais des accolades en trop !
Il n'y a rien de mieux à faire maintenant.

@-

totomm · 05-04-2012 10:23:53

Bonjour,

@yoshi : Merci pour votre intervention,

Pendant que j'écrivais une réponse (Post #8) la 1ère ligne latex du post #7 d'Alain01 s'affichait mal,
je l'ai donc copiée et j'ai indiqué comment elle pouvait être corrigée. Je ne soupçonnais pas que vous étiez en cours de correction vous-même, avec vos possibilités d'intervention ....

Ce qui est en cause est donc le "partage en lecture" concomitant avec les interventions en écriture. C'est un problème récurrent sur les bases de données quand la simultanéité est possible sans indication de "modification en cours"

Cordialement

alain01 · 06-04-2012 00:20:35

Bonjour Yoshi.
Je suis désolé du tracas que je vous cause.J'appuie toujours sur "prévisualisation" avant de valider mais ça ne marche
que rarement.Je vous prie de m'excuser.
Merci Totomm pour les précisions supplémentaires.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 03-04-2012 01:25:02

Nombres complexes.

#2 03-04-2012 10:52:24

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