Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alain01

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Questions sur l'intégration.

Bonjour à tous.
1°-On a encadré une surface à l'aide de deux suites adjacentes (f(x)=1/x) et Un=(1/n+1)+...+(1/2n) et Vn=(1/n)+..+(1/2n-1) et on a trouvé limS=ln2).Une primitive de la fonction continue f(x)=1/x est lnx. Dériver en un point donne une pente,pourquoi le fait de primitiver donne une aire ?
2°-Je ne comprends pas du tout la notion de moyenne d'une fonction f déterminée en fonction de  l'intégrale de f .Serait-elle applicable uniquement dans le domaine des probabilités(variable continue) ?
J'aimerais bien,s'il vous plait, quelques explications et merci.

Fred

Administrateur

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Re : Questions sur l'intégration.

Bonsoir Alain,

1°- Ce n'est pas facile de répondre à ta première question. Je vais te donner une idée qui pourrait t'éclairer.
Si F est une primitive de f, et si tu calcules F(x+h)-F(x), alors c'est pratiquement égal à hF'(x), soit hf(x).
hf(x), c'est exactement l'aire du rectangle de hauteur f(x) et de largeur h.
C'est-à-dire que hf(x) est à peu près l'aire sous la courbe de f entre x et x+h. Ainsi, on a démontré
que F(x+h)-F(x) vaut a peu près l'aire sous la courbe de f entre x et x+h.
En mettant bout à bout ces rectangles (c'est, si l'on veut, la méthode des rectangles), et en enlevant le "à peu près",
on obtient bien le fait que primitiver donne une aire.

2°- C'est plus facile à mon sens. Si tu as deux valeurs x et y, leur valeur moyenne est (x+y)/2.
Si tu en as n, [tex]x_1,\dots,x_n[/tex], leur valeur moyenne est [tex]\frac{x_1+\dots+x_n}n[/tex].
Maintenant, si tu veux avoir la valeur moyenne de la fonction f disons entre 0 et 1, une valeur approchée est
[tex]\frac{f(0)+f(1/n)+\dots+f((n-1)/n)}n[/tex] et on peut dire que la valeur moyenne de f, c'est la limite de cette quantité quand
n tend vers l'infini. Mais la somme précédente correspond à nouveau à un calcul d'aire par la méthode des rectangles.
Donc au final à un calcul d'intégrale.

Fred.

alain01

Membre

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Messages : 102

Re : Questions sur l'intégration.

C'est très clair.
Merci beaucoup Fred.

abed

Invité

Re : Questions sur l'intégration.

Bonjour je demande la solution de la partie 3,4 et 5.
On considère la fonction f(x)= xlnx/(x^2-1) x∈ ]0,1[.
1-Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et en 1.
2- Montrer que 1≤lnx/(x^2-1) ≤1/x. (Indication :on pourrait Appliquer le théorème des accroissement finis a la fonction ln sur l’intervalle [x,1])
3-en déduire un encadrement de Rn=∫_0^1   (x^n lnx)/(x^2-1)dx
Trouver  limn→∞⁡Rn.

4- Calculer ∫_α^1 x^n  lnx dx , ou 0<α<1.
En déduire la valeur  In=∫_( α )^1 x^n lnx dx ,pour n≥1.
5-Exprimer ∫_0^1 f(x) a l’aide de I1 , I3,…….., I2n+1 et R2n+1 , Pour ≥2
En déduire la nature de la suite Un=1 + 1/2^2 + 1/3^2 +………+ 1/n^2.

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : Questions sur l'intégration.

Bonjour

Abed, je commence à être fatigué par les intervenants qui posent leur.... post n'importe où !!!
Question : Quel rapport ton sujet a-t-il avec la discussion en cours ?
Réponse : Aucune !!!
Donc tu parasites une discussion, ce qui est interdit par notre règlement (dans votre intérêt)...

Donc, je ferme le sujet, si tu veux une réponse, alors
- commence par ouvrir ta propre discussion en cliquant (en haut ou en bas de page) sur la page d'accueil de chaque sous-forum sur la mention Nouvelle discussion,
- essaie de rendre ton post lisible en utilisant LaTeX soit via l'éditeur d'équations disponible (si tu as Java installé sur ton ordi) soit à la main en lisant cette page.
  exemples :
    f(x)= xlnx/(x^2-1) x∈ ]0,1[  qui doit s'écrire
    [tex]f(x) = x\ln\left(\frac{x}{x^2-1}\right)[/tex], [tex]x \in ]0;1[[/tex]  ->code LateX  f(x) = x\ln\left(\frac{x}{x^2-1}\right)  et x \in ]0;1[
    Rn=∫_0^1   (x^n lnx)/(x^2-1)dx qui doit s'écrire :
    [tex]R_n=\int_0^1 \frac{x^n\ln(x)}{x^2-1} dx[/tex]  -> Code LateX  R_n=\int_0^1 \frac{x^n\ln(x)}{x^2-1} dx
Il suffit de sélectionner quand on le fait à la main, le code, puis de clquer sur l'icône TEX de la barre d'outils et la sélection est alors encadrée par deux balises Tex (cf cette page)

Merci de ta compréhension .
Je supprimerai ton post et le mien dans 48 h.

       Yoshi
- Modérateur -