Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Espace vectoriel topologique.

Bonjour à tous.
C'est un problème que ma Cousine(elle prépare une Maitrise) n'a pas pu comprendre.Je l'ai prévenue que Bibm@th ne résolvait jamais un exercice à la place du demandeur.
S'il vous plait,donner lui quelques indications aux deux questions de ce problème important pour elle.
Soit X un espace vectoriel topologique localement convexe défini par une famille de sous-normes P.Soit P' une famille de sous-normes sur X telle que:
i-[tex]\forall{p'}\in{P'}[/tex];p' est continue.
ii-[tex]\forall{p}\in{P};\exists{c}>0;\exists{p'}\in{P'}/p(x)\leq{cp'(x)} ;\forall{x}\in{X}[/tex].
Montrer que :
1°)l'ensemble des boules fermées des semi-normes de P' est une base de voisinage de 0.
2°)si P' est dénombrable alors X est à base locale dénombrable.

Voici sa réponse à la 1ere question.
Si toutes boules ouvertes de semi-normes de P est une base de voisinage de 0 alors toutes boules fermées de semi-normes de P est une base de voisinage de 0 (car les boules ouvertes sont contenues dans les boules fermées).
V est une base de voisinage (il me semble qu'il manque :de 0 ? )i-e:
[tex]V(x)=\{V\,\in p(x)\,;\exists B\in \{B(x) ; B\subset{V}\}[/tex].Il est clair que V(x) est un filtre.
On pose W=(x;u).On a [tex]\forall{p}\in{P}\;;\exists{c}>0;\exists{p'}\in{P'}/p(x)\leq{cp'(x)}<cu[/tex] et u'=cu d'ou
[tex]x\in{B'(x;u')}[/tex] et on pose u<u' alors :
[tex]B(x;u)\subset B'(x;u')[/tex].B(x;u') est une base de voisinage de 0.

Merci de corriger et de lui donner quelques explications et indications.

Dernière modification par alain01 (13-03-2012 00:20:58)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Espace vectoriel topologique.

Bonjour Alain,

Est-ce que ta cousine ne peut pas poster elle-même? Ici, par exemple, cela semble plutôt bien parti, mais arrive d'un coup les ensembles B(x,u)
dont on ne sait pas à quoi ils correspondent. J'imagine qu'il s'agit de boules, mais par rapport à quelle semi-norme???

Pour la question 2°), voici une indication. On peut prendre pour base locale dénombrable les boules relatives à chaque semi-norme de P'
avec un rayon rationnel... On obtient un ensemble dénombrable qui est une base de voisinages de 0 (ces deux faits méritent une explication).

Fred.

alain01

Membre

Inscription : 23-06-2011

Messages : 102

Re : Espace vectoriel topologique.

Bonjour Fred.
La raison pour laquelle elle n'a pas posté elle-meme est bien simple.Elle ne connaissait pas Bibm@th et elle était chez nous.Désormais elle pourrra le faire.
Vos indications,me semble-t-il,lui ont permis de terminer.Tous, nous vous remercions très fort.