Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je dois montrer que la fonction [tex]s\to \zeta(u,s):=\sum_{n\ge 0} \frac{1}{(n+u)^s}[/tex] avec [tex]Re(s)>1[/tex] et [tex]u>0[/tex], admet un prolongement méromorphe sur[tex]\{Re(s)>-1\}[/tex].

Voici ce que j'ai fait. Tout d'abord, par une transormation d'Euler-MacLaurin (j'ai vérifié plusieurs fois mes calculs), j'obtiens que :

[tex]\zeta(u,s)=\frac{u^{1-s}}{s-1}+\frac{u^{-s}}{2}-s\int_0^{+\infty} \frac{P(t)}{(t+u)^{s+1}}dt[/tex] avec [tex]P(t)=t-[t]-\frac{1}{2}[/tex].

Je me dis que c'est pas une mauvaise idée, car si je montre que la fonction [tex]s\to \int_0^{+\infty} \frac{P(t)}{(t+u)^{s+1}}dt[/tex]  est holomorphe sur [tex]\{Re(s)>-1\}[/tex], c'est gagné.

J'essaye donc de vérifier les hypothèses du théorème d'holomorphie sous le signe intégral.
Pour la condition de domination, je la vérifie sur tout compact de [tex]\{Re(s)>-1\}[/tex], donc je considère deux réels [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] tels que [tex]-1<a\le Re(s)\le b<+\infty[/tex].
J'essaye donc de majorer le module de [tex]h : (s,t) \to \frac{P(t)}{(t+u)^{s+1}}[/tex] par une fonction intégrable sur [tex][0;+\infty[[/tex] de la forme [tex]C_1 1_{[0;1]}(t)+C_2 1_{]1;+\infty[}(t)[/tex] où [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] dépendent de [tex]t[/tex].
Cependant, le polynôme ne me permet de contrôler l'intégrabilité sur [tex][0;1][/tex] et sur [tex]]1;+\infty[[/tex], je me retrouve avec une intégrande de la forme [tex]\frac{1}{t^{Re(s)+1}}[/tex] qui converge ssi [tex]Re(s)>0[/tex].

J'avais ensuite tenté une IPP dans l'intégrale, afin de faire apparaître du [tex]s+2[/tex], mais sans succès (toujour dans l'idée de dominer ma fonction).

Pouvez-vous m'indiquer une piste ?

Merci !

Bonjour,

Il y a une remarque dans un cours que j'essaye de prouver. La remarque est présentée comme triviale.

La formule de Cauchy est valable pour toute fonction continue sur le disque fermé [tex]D_f(a,R)[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbb{C}[/tex] et holomorphe sur le disque ouvert [tex]D(a,R)[/tex].

Voilà comment j'ai commencé.
Pour pouvoir appliquer la formule de Cauchy, j'ai besoin d'un domaine élémentaire, par exemple d'un disque fermé.
Je considère donc un réel [tex]r[/tex] tel que [tex]|z-a|<r<R[/tex] pour tout [tex]z\in D(a,R)[/tex]. Alors [tex]f[/tex] est holomorphe sur [tex]D_f(a,r)[/tex], et donc, par la formule de Cauchy, on a :

[tex]\forall z\in D(a,r), f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{re^{it}f(a+re^{it})}{re^{it}-(z-a)}dt[/tex]. (j'ai directement paramétré le cercle [tex]\partial D(a,R)[/tex]).
Maintenant, j'essaie de voir s'il est possible de faire tendre [tex]r[/tex] vers [tex]R[/tex] dans cette égalité. Il s'agit donc de faire passer la limite dans l'intégrale, et donc je pense à voir si je peux dominer l'intégrande indépendamment de [tex]r[/tex] par une fonction intégrable sur [tex][0,2\pi][/tex].

La fonction f étant continue sur [tex]D_f(a,R)[/tex], il existe [tex]M[/tex] tel que [tex]\sup_{y\in D_f(a,R)}|f(y)|=M[/tex]. D'autre part, [tex]|re^{it}-(z-a)|\ge r-|z-a|>r-R[/tex].
Ainsi, [tex]|\frac{re^{it}f(a+re^{it})}{re^{it}-(z-a)}|\le \frac{Mr}{r-R}[/tex]

Le souci, c'est que je ne parviens pas à me débarasser de la dépendance en [tex]r[/tex].

A quel moment mon raisonnement devient-il faux ?

Merci d'avance :)

Bonjour,

Je considère un espace de Hilbert séparable de dimension infinie et une base hilbertienne [tex](e_n)[/tex] de [tex]H[/tex].
J'ai démontré que [tex]\lim_{n\to +\infty}(x,e_n)=0[/tex] pour tout [tex]x\in H[/tex].

J'essaye de montrer que l'ensemble [tex]F=\{e_n,n\in \mathbb{N}\}[/tex] est un fermé de [tex]H[/tex].

J'ai essayé plusieures stratégies : essayer de montrer que c'est un complet de [tex]H[/tex], considérer une suite [tex](f_n)[/tex] d'éléments de F qui converge vers f et montrer qu'alors [tex]f\in F[/tex], etc.
Il me semble que c'est par le critère séquentiel que l'on peut aboutir, car on peut utiliser la continuité du produit scalaire dans les calculs.
Soit donc [tex](f_n)[/tex] une suite d'éléments de [tex]F[/tex] qui converge vers [tex]L[/tex]. Montrons que [tex]L\in F[/tex].
Je pense que c'est ici que la confusion s'intalle dans mon esprit. Une suite [tex](f_n)[/tex] d'éléments de [tex]F[/tex], c'est bien quelque chose de la forme [tex](f_n)_n=(e_n)_n[/tex] ?

Merci

Bonjour,

J'ai toujours du mal à déterminer certaines limites, notamment pour ce genre de suite de fonctions : [tex]f_n(x)=n\times 1_{[0,\frac{1}{n}]}(x)[/tex]. Je travaille ici sur un espace mesuré [tex](X,\mu)[/tex].

Je propose ceci.
Soit x réel. Déjà, [tex]f_n(x)=1[/tex] si [tex]x\in [0;\frac{1}{n}][/tex] et [tex]f_n(x)=0[/tex] si [tex]x\notin [0;\frac{1}{n}][/tex].
Lorsque [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], on a [tex]\mu([0;\frac{1}{n}])=\frac{1}{n}\to 0[/tex] et donc [tex]f_n(x)[/tex] tend vers [tex]0[/tex] presque partout lorsque [tex]n\to +\infty[/tex].

Est-ce que c'est juste ? Ce qui me gêne, c'est que la mesure de l'ensemble [tex][0;\frac{1}{n}][/tex] n'est pas nulle, mais tend vers [tex]0[/tex] lorsque [tex]n\to +\infty[/tex].

Merci d'avance !

Bonjour,

Je bloque sur une preuve relative aux séries de fonctions méromorphes.

On utilise dans la preuve le lemme suivant.

Lemme
Soit [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex]. La suite dont le terme général [tex]K_n[/tex] est [tex]\{d_{U^c}\ge 2^{-n}\}\cap adh(D(0,n))[/tex] est une exhaustion de [tex]U[/tex] au sens où ce sont des compacts de [tex]U[/tex] tels que [tex]U=\cup_{n\ge 0} K_n[/tex] et pour tout entier [tex]n[/tex], [tex]K_n\subset K_{n+1}[/tex].

On se sert également de la définition suivante.

Définition
Soient [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex] et [tex]\sum f_n[/tex] une série de fonctions méromorphes sur [tex]U[/tex]. On dit que [tex]\sum f_n[/tex] converge uniformément sur un sous-ensemble [tex]A\subset U[/tex] s'il existe un entier [tex]n_0[/tex] tel que pour tout [tex]n\ge n_0[/tex], [tex]A\cap P(f_n)=\emptyset[/tex] et [tex]\sum_{n\ge n_0}[/tex] converge uniformément.

Et voici la proposition.

Proposition
Soient [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex] et [tex]\sum f_n[/tex] une série de fonctions méromorphes sur [tex]U[/tex] qui converge uniformément sur tout compact de [tex]U[/tex]. Alors [tex]\sum f_n[/tex] converge vers une fonction méromorphe [tex]f[/tex] telle que [tex]P(f)\subset \cup_n P(f_n)[/tex].
En outre, [tex]\sum f_n'[/tex] converge uniformément vers [tex]f'[/tex] sur tout compact de [tex]U[/tex].

Preuve
On fixe une exhaustion [tex](K_n)[/tex] de [tex]U[/tex]. Pour chaque entier [tex]n[/tex] fixé, on peut par définition se donner un entier [tex]k_n[/tex] tel que [tex]P(f_k)\cap K_n=\emptyset[/tex] lorsque [tex]k\ge k_n[/tex] et tel que la série [tex]\sum_{n\ge n_k}[/tex] converge uniformément sur [tex]K_n[/tex], et donc sur [tex]V_n=int(K_n)[/tex] (int pour intérieur de).

D'après un corollaire du théorème de Weierstrass (https://www.bibmath.net/dico/index.php? … asscv.html), [tex]F_n=\sum_{k\ge k_n} f_{k|V_n}[/tex] est holomorphe, et donc [tex]F_n^{'}=\sum_{k\ge k_n} f^{'}_{k|V_n}[/tex]. Etant donné qu'une somme finie de fonctions méromorphes est méromorphe, l'égalité [tex]\varphi_n=\sum_{k<k_n}+F_n[/tex] définit une fonction méromorphe sur [tex]V_n[/tex].

On s'assure ensuite que la fonction [tex]\varphi_n[/tex] ne dépend pas de l'entier choisi. On obtient ainsi, pour [tex]z\in V_n[/tex], une fonction [tex]f(z)=\varphi_n(z)[/tex] définie et méromorphe sur [tex]U[/tex].
Comme tout compact de [tex]U[/tex] est contenu dans [tex]V_n[/tex] pour [tex]n[/tex] assz grand, la série converge uniformément vers [tex]f[/tex] sur tout compact de [tex]U[/tex].

En fait, je ne comprends pas l'utilisation de l'intérieur de [tex]K_n[/tex] pour tout [tex]n[/tex] ? En effet, [tex]V_n[/tex] est un ouvert pour tout [tex]n[/tex], et le théorème de Weierstrass d'applique pour des compacts.

Merci pour vos retours !