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Vincent62

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fonction harmonique

Bonjour,

Est-ce que la propriété suivante est évidente (dans la mesure où elle découle directement d'un résultat ?) :

Soit U un ouvert quelconque, u une fonction harmonique sur U un ouvert de C. Alors u est indéfiniment dérivable, et toutes ses dérivées partielles sont harmoniques.

Je sais dire que sur un ouvert quelconque U, une fonction harmonique définie sur U et à valeurs réelles est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe sur U, donc localement, u est indéfiniment dérivable.

Je vois pourquoi c'est vrai localement pour des fonctions harmoniques à valeurs réelles définies sur un ouvert quelconque, et pourquoi c'est vrai pour des fonctions harmoniques à valeurs réelles définies sur un ouvert simplement connexe, mais je ne vois pas pourquoi c'est vrai pour des fonctions harmoniques à valeurs dans C définies sur un ouvert quelconque.

Merci d'avance !

Dernière modification par Vincent62 (16-07-2024 12:39:43)

Vincent62

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Re : fonction harmonique

Je cherche du côté des équations différentielles.
Je pense que c'est un peu le même principe. Par exemple, si [tex]f[/tex] est solution de [tex]y'=ay[/tex], alors f est [tex]C^{\infty}[/tex].
En effet, par récurrence, en supposant que [tex]f\in C^p[/tex], alors [tex]f'=af\in C^p[/tex] et donc [tex]f\in C^{p+1}[/tex].

Ici, u est harmonique donc [tex]\Delta u=0[/tex]. Il faut montrer que [tex]u\in C^p[/tex] pour tout entier p.
Je continue...

Je pense avoir trouvé.
Soit f harmonique. On a f=u+iv où u=Re(f) et v=Im(f). Alors u et v sont harmoniques et à valeurs réelles, donc localement parties réelles de fonctions holomorphes, donc localement indéfiniment différentiables.
Si l'ouvert considéré est simplement connexe, ceci est valable sur tout l'ouvert.

Dernière modification par Vincent62 (16-07-2024 12:54:44)