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Vincent62

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Prolongement analytique de zéta

Bonjour,

Je dois montrer que la fonction [tex]s\to \zeta(u,s):=\sum_{n\ge 0} \frac{1}{(n+u)^s}[/tex] avec [tex]Re(s)>1[/tex] et [tex]u>0[/tex], admet un prolongement méromorphe sur[tex]\{Re(s)>-1\}[/tex].

Voici ce que j'ai fait. Tout d'abord, par une transormation d'Euler-MacLaurin (j'ai vérifié plusieurs fois mes calculs), j'obtiens que :

[tex]\zeta(u,s)=\frac{u^{1-s}}{s-1}+\frac{u^{-s}}{2}-s\int_0^{+\infty} \frac{P(t)}{(t+u)^{s+1}}dt[/tex] avec [tex]P(t)=t-[t]-\frac{1}{2}[/tex].

Je me dis que c'est pas une mauvaise idée, car si je montre que la fonction [tex]s\to \int_0^{+\infty} \frac{P(t)}{(t+u)^{s+1}}dt[/tex]  est holomorphe sur [tex]\{Re(s)>-1\}[/tex], c'est gagné.

J'essaye donc de vérifier les hypothèses du théorème d'holomorphie sous le signe intégral.
Pour la condition de domination, je la vérifie sur tout compact de [tex]\{Re(s)>-1\}[/tex], donc je considère deux réels [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] tels que [tex]-1<a\le Re(s)\le b<+\infty[/tex].
J'essaye donc de majorer le module de [tex]h : (s,t) \to \frac{P(t)}{(t+u)^{s+1}}[/tex] par une fonction intégrable sur [tex][0;+\infty[[/tex] de la forme [tex]C_1 1_{[0;1]}(t)+C_2 1_{]1;+\infty[}(t)[/tex] où [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] dépendent de [tex]t[/tex].
Cependant, le polynôme ne me permet de contrôler l'intégrabilité sur [tex][0;1][/tex] et sur [tex]]1;+\infty[[/tex], je me retrouve avec une intégrande de la forme [tex]\frac{1}{t^{Re(s)+1}}[/tex] qui converge ssi [tex]Re(s)>0[/tex].

J'avais ensuite tenté une IPP dans l'intégrale, afin de faire apparaître du [tex]s+2[/tex], mais sans succès (toujour dans l'idée de dominer ma fonction).

Pouvez-vous m'indiquer une piste ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (24-08-2024 15:50:43)

Totototo

Invité

Re : Prolongement analytique de zéta

Bonjour,

Pour l'IPP, prendre pour primitive de $P$, celle de moyenne nulle sur $[0;1]$, ce qui donnera une fonction continue et 1-périodique donc bornée (si on connaît la formule d'Euler-Maclaurin, cette fonction est la fonction de Bernoulli $b2$)
Une autre méthode consiste, si on connaît la fonction zeta habituelle, ie $\zeta(1,s)$, on peut étudier $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^s}((1+u/n)^{-s}-(1-su/n))$

Vincent62

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Re : Prolongement analytique de zéta

Merci beaucoup Totototo !