Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Application du théorème des restes chinois

Bonjour,

Je ne parviens à montrer que [tex]\frac{Z}{nZ}\times \frac{Z}{mZ}=\frac{Z}{n'Z}\times \frac{Z}{m'Z}[/tex] (le signe = siginfie ici "est isomorphe à ") équivaut à [tex]pgcd(n,m)=pgcd(n',m')[/tex] et [tex]ppcm(n,m)=ppcm(n',m')[/tex] (n, m, n' et m' sont des entiers naturels).

On suppose que pgcd(n,m)=pgcd(n',m') et ppcm(n,m)=ppcm(n',m').
On peut déjà noter que pgcd(n,m)ppcm(n,m)=pgcd(n',m')ppcm(n'm') et donc nm=n'm'.
Maintenant, j'aimerais pouvoir dire que [tex]\frac{Z}{nmZ}=\frac{Z}{nZ}\times \frac{Z}{mZ}[/tex] mais cela n'est vrai que si n et m sont premiers entre eux (théorème des restes chinois).

Je décompose également en produit de facteurs premiers, mais je n'arrive pas à exploiter l'écriture.
Je remarque aussi que a=n/pgcd(n,m) et b=m/pgcd(n,m) sont premiers entre eux...

Auriez-vous des indications ?

Merci d'avance et bon dimanche.

bridgslam

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonsoir,

Avec les isomorphismes de $\mathbb{Z}/ab\mathbb{Z} $ avec $ \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ et similairement

$\mathbb{Z}/a'b'\mathbb{Z} $ avec $ \mathbb{Z}/a'\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/b'\mathbb{Z}$
vu aussi que  que ab = a'b' compte-tenu des hypothèses, il reste à voir ce que deviennent ces isomorphismes à un facteur $d^2$ et $d$ près, ce qui doit être faisable.

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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bridgslam

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonjour,

On doit normalement pouvoir montrer qu'ils sont isomorphes à $Z/\delta Z \times Z/\mu Z$, ce qui induit l'isomorphisme entre eux par transitivité.

A

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Fred

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Re : Application du théorème des restes chinois

Re-

  On peut effectivement prouver que $\mathbb Z/a\mathbb Z\times \mathbb Z/b\mathbb Z$ est isomorphe à $\mathbb Z/m\mathbb Z\times \mathbb Z/d\mathbb Z$, avec $m$ le ppcm et $d$ le pgcd de $a$ et de $b$. Pour cela, le mieux est de décomposer $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers, d'appliquer le théorème chinois pour décomposer $\mathbb Z/a\mathbb Z$ et $\mathbb Z/b\mathbb Z$, et se souvenir comment on calcule le pgcd et le ppcm avec la décomposition en produits de facteurs premiers.

F.

Vincent62

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Re : Application du théorème des restes chinois

Merci à vous deux, j'y réfléchis !

bridgslam

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonjour,

C'est presque plus dur à exprimer qu'à voir.
le produit cartésien $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ se décompose en produit cartésien de produits cartésiens de la forme
$\mathbb{Z}/p^{\alpha}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p^{\beta}\mathbb{Z}$, $\alpha$ et $\beta$ étant les valuations relativement à p premier resp. de a et de b,
on regroupe le produit cartésien selon min et max sur les valuations (pour tout p) , pour chaque facteur p on obtient donc d'une part le pgcd, d'autre part le ppcm des $p^{\alpha}, p^{\beta}$ , étant respectivement premiers entre eux lorsque p premier varie, en utilisant à nouveau (dans l'autre sens) le théorème chinois pour regrouper en 2 groupes cycliques  avec pgcd (a,b) et ppcm (a,b) ( comme attendus).

M'étant comme d'hab sans doute très mal exprimé je donne un exemple schématique, $a = 2^2 5^3 7^2 $ et $b =  2^1 5^3 7^3$
on se retrouve avec le th. chinois  avec ( $\mathbb{Z}/2^2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5^3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/7^2\mathbb{Z}$ ) x ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5^3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/7^3\mathbb{Z}$ )
Puis en réordonnant selon min puis selon max les facteurs du produit cartésien:
( $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5^3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/7^2\mathbb{Z}$ ) x ($\mathbb{Z}/2^2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5^3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/7^3\mathbb{Z}$ )

Il n'y a a plus qu'à appliquer le th. chinois pour retrouver pgcd d'un côté, ppcm de l'autre , et on a ce qu'on attendait.

Pour l'implication réciproque voyons: d'après transitivité de l'isomorphie  $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} $ est donc isomorphes à
$\mathbb{Z}/d'\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m'\mathbb{Z} $ en notant d,d' les pgcd de (a,b) et de (a',b') m,m' les ppcm de (a,b) et de (a',b').

On a donc deux représentations d'un même groupe abélien fini en produit de groupes cycliques , tels que d| m et d' | m'.
Or elle est unique ( voir le théorème correspondant). Donc d=d' et m=m'.
Ainsi pgcd (a,b) = pgcd (a',b') et ppcm(a,b) = ppcm( a',b').

L'équivalence est donc démontrée entre les deux propriétés.

Bonne fin de journée
Alain

Dernière modification par bridgslam (20-08-2024 17:59:31)

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Vincent62

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonjour,

Merci Alain, ça confirme ce que j'ai fait :)

bridgslam

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonjour,

De rien, avec plaisir.
Il vaut mieux parler de "réalisation" que de "représentation", dans mon propos précédent, ce mot étant déjà réservé pour les groupes finis il me semble.

A.

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Michel Coste

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonjour,
On peut expliciter un isomorphisme $\alpha$ entre $\mathbb Z/a\mathbb Z\times \mathbb Z/b\mathbb Z$ et $\mathbb Z/m\mathbb Z\times \mathbb Z/d\mathbb Z$. Notons $a'=a/d$ et $b'=b/d$. Il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $ua'-vb'=1$.
$\alpha$ est induit par l'automorphisme de $\mathbb Z^2$ de matrice $\begin{pmatrix}1&ua'\\1&vb'\end{pmatrix}$ et $\alpha^{-1}$ par celui de matrice inverse $\begin{pmatrix} -vb'&ua'\\1&-1\end{pmatrix}$.

bridgslam

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Re : Application du théorème des restes chinois

Bonjour,

Sauf erreur , pour moi, avec vos notations, c'est bien l'isomorphisme $\alpha$ qui va de $\mathbb Z/m\mathbb Z\times \mathbb Z/d\mathbb Z$ vers $\mathbb Z/a\mathbb Z\times \mathbb Z/b\mathbb Z$  et vice versa avec $\alpha^{-1}$.

On est bien d'accord?

C'est beaucoup plus simple, merci !

Alain

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