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#1 04-07-2024 14:44:23
- Vincent62
- Membre
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- Messages : 314
Continuité formule de Cauchy
Bonjour,
Il y a une remarque dans un cours que j'essaye de prouver. La remarque est présentée comme triviale.
La formule de Cauchy est valable pour toute fonction continue sur le disque fermé [tex]D_f(a,R)[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbb{C}[/tex] et holomorphe sur le disque ouvert [tex]D(a,R)[/tex].
Voilà comment j'ai commencé.
Pour pouvoir appliquer la formule de Cauchy, j'ai besoin d'un domaine élémentaire, par exemple d'un disque fermé.
Je considère donc un réel [tex]r[/tex] tel que [tex]|z-a|<r<R[/tex] pour tout [tex]z\in D(a,R)[/tex]. Alors [tex]f[/tex] est holomorphe sur [tex]D_f(a,r)[/tex], et donc, par la formule de Cauchy, on a :
[tex]\forall z\in D(a,r), f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{re^{it}f(a+re^{it})}{re^{it}-(z-a)}dt[/tex]. (j'ai directement paramétré le cercle [tex]\partial D(a,R)[/tex]).
Maintenant, j'essaie de voir s'il est possible de faire tendre [tex]r[/tex] vers [tex]R[/tex] dans cette égalité. Il s'agit donc de faire passer la limite dans l'intégrale, et donc je pense à voir si je peux dominer l'intégrande indépendamment de [tex]r[/tex] par une fonction intégrable sur [tex][0,2\pi][/tex].
La fonction f étant continue sur [tex]D_f(a,R)[/tex], il existe [tex]M[/tex] tel que [tex]\sup_{y\in D_f(a,R)}|f(y)|=M[/tex]. D'autre part, [tex]|re^{it}-(z-a)|\ge r-|z-a|>r-R[/tex].
Ainsi, [tex]|\frac{re^{it}f(a+re^{it})}{re^{it}-(z-a)}|\le \frac{Mr}{r-R}[/tex]
Le souci, c'est que je ne parviens pas à me débarasser de la dépendance en [tex]r[/tex].
A quel moment mon raisonnement devient-il faux ?
Merci d'avance :)
Dernière modification par Vincent62 (04-07-2024 18:27:37)
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#3 05-07-2024 07:52:27
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 174
Re : Continuité formule de Cauchy
Bonjour,
Ton erreur est de vouloir te débarasser du $z$ alors que ce n'est pas la variable d'intégration.
Tu sais que $z\in D(a,R)$ et tu commences par choisir $\rho$ tel que $|z-a|<\rho<R.$ Tu peux alors écrire,
pour $\rho<r<R,$
$$|re^{it}-(z-a)|\geq r-|z-a|\geq \rho-|z-a|$$
ce qui, en passant à l'inverse, te donne ta majoration indépendante de $r.$
Pour le numérateur, bien sûr tu as $Mr\leq MR.$
F.
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