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Vincent62

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Continuité et espace L^p

Bonsoir,

Soit [tex]\mu[/tex] une mesure positive sur [tex]X[/tex]. On note [tex]L^p[/tex] l'espace [tex]L^p(\mu)[/tex]. Soit [tex]0<p_0<p_1\le \infty[/tex].
1) Soit [tex]f\in L^{p_0}\cap L^{p_1}[/tex].
a) J'ai montré que [tex]f\in L^p[/tex] pour tout [tex]p_0\le p\le p_1[/tex] et que [tex]||f||_p\le ||f||_{p_0}^{1-\theta}||f||_{p_1}^{\theta}[/tex] pour tout [tex]\theta\in [0;1][/tex] tel que [tex]\frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}[/tex].

b) Je dois montrer que l'application [tex]g[/tex] qui à [tex]p\in [p_0;p_1]\to ||f||_p[/tex] est continue.
J'ai procédé en utilisant les suites, c'est-à-dire en considérant une suite [tex](p_n)[/tex] d'éléments de [tex][p_0;p_1][/tex] telle que [tex]p_n\to p[/tex] et en montrant que [tex]g(p_n)\to g(p)[/tex]. Mais bon, ça me paraît trop simple.

Est-ce correct, où y a-t-il un autre argument ?

Merci d'avance

Dernière modification par Vincent62 (02-06-2024 20:45:24)

Michel Coste

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Re : Continuité et espace L^p

Bonsoir,
Pourquoi serait-ce trop simple ?
Bien sûr, on ne peut pas savoir avec ce que tu nous dis si ta démonstration de $g(p_n)\to g(p)$ quand $p_n\to p$ est correcte.

Vincent62

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Re : Continuité et espace L^p

Bonsoir Michel,

Je n'ai pas réussi à justifier de l'interversion limite-intégrale dans ce que je raconte ci-dessous :

Soit donc [tex](p_n)_n[/tex] une suite d'éléments de [tex][p_0;p_1][/tex] telle que [tex]\lim_{n\to +\infty} p_n=p[/tex]. Il s'agit alors de montrer que [tex]\lim_{n\to +\infty} g(p_n)=g(p)[/tex], autrement dit que [tex]\lim_{n\to +\infty} \big(\int |f|^{p_n}\big)^{\frac{1}{p_n}}=\big(\int |f|^{p}\big)^{\frac{1}{p}}[/tex]

Pour cela, j'écris que [tex]\big(\int |f|^{p_n}\big)^{\frac{1}{p_n}}=\exp(\frac{1}{p_n}\ln(\int |f|^{p_n}))[/tex], en supposant que [tex]f[/tex] est non nulle presque partout.
Il s'agit donc de justifier que [tex]\lim_{n\to +\infty}\int |f|^{p_n}=\int |f|^p[/tex] et donc de justifier l'interversion limite / intégrale.
J'ai bien [tex]\lim_{n\to +\infty} |f|^{p_n}=|f|^p[/tex] mais en vue d'utiliser le théorème de convergence dominée, ça coince.

Je réfléchis aussi à comment utiliser l'inégalité du 1) a). Finalement, il s'agit aussi de montrer que pour tout [tex]a\in [p_0;p_1], \lim_{p\to a} ||f||_p=||f||_a[/tex].

Vincent62

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Re : Continuité et espace L^p

En fait l'inégalité 1)a) permet de montrer que [tex]L^{p_0}\cap L^{p_1}[/tex] est un fermé de [tex]L^p[/tex], donc un Banach.

Fred

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Re : Continuité et espace L^p

Bonjour,

  Pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominée, il te faut majorer $|f(x)|^{p_n}.$
Je te propose de séparer deux cas :
* $|f(x)|<1$
* $|f(x)|>1$.

F.

Vincent62

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Re : Continuité et espace L^p

Mais oui, merci Fred !
J'ai pourtant utilisé cette décomposition pour obtenir le premier résultat !

Encore merci