Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Ensemble fermé et base hilbertienne

Bonjour,

Je considère un espace de Hilbert séparable de dimension infinie et une base hilbertienne [tex](e_n)[/tex] de [tex]H[/tex].
J'ai démontré que [tex]\lim_{n\to +\infty}(x,e_n)=0[/tex] pour tout [tex]x\in H[/tex].

J'essaye de montrer que l'ensemble [tex]F=\{e_n,n\in \mathbb{N}\}[/tex] est un fermé de [tex]H[/tex].

J'ai essayé plusieures stratégies : essayer de montrer que c'est un complet de [tex]H[/tex], considérer une suite [tex](f_n)[/tex] d'éléments de F qui converge vers f et montrer qu'alors [tex]f\in F[/tex], etc.
Il me semble que c'est par le critère séquentiel que l'on peut aboutir, car on peut utiliser la continuité du produit scalaire dans les calculs.
Soit donc [tex](f_n)[/tex] une suite d'éléments de [tex]F[/tex] qui converge vers [tex]L[/tex]. Montrons que [tex]L\in F[/tex].
Je pense que c'est ici que la confusion s'intalle dans mon esprit. Une suite [tex](f_n)[/tex] d'éléments de [tex]F[/tex], c'est bien quelque chose de la forme [tex](f_n)_n=(e_n)_n[/tex] ?

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 174

Re : Ensemble fermé et base hilbertienne

Bonjour,

  C'est plutôt une suite de la forme $(e_{\phi(n)})$, où $\phi:\mathbb N\to\mathbb N.$ Par exemple, tu pourrais choisir pour $(f_n)$ la suite constante égale à $e_1$.
  Pour montrer que $F$ est fermé en utilisant le critère séquentiel, tu pourrais démontrer qu'une suite de $F$ qui converge est forcément stationnaire. Pour cela, tu peux calculer $\|e_n-e_m\|$ pour $n\neq m.$

F.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : Ensemble fermé et base hilbertienne

Merci Fred, c'est cette "forme" qui me manquait.