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Vincent62

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Série de fonctions méromorphes

Bonjour,

Je bloque sur une preuve relative aux séries de fonctions méromorphes.

On utilise dans la preuve le lemme suivant.

Lemme
Soit [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex]. La suite dont le terme général [tex]K_n[/tex] est [tex]\{d_{U^c}\ge 2^{-n}\}\cap adh(D(0,n))[/tex] est une exhaustion de [tex]U[/tex] au sens où ce sont des compacts de [tex]U[/tex] tels que [tex]U=\cup_{n\ge 0} K_n[/tex] et pour tout entier [tex]n[/tex], [tex]K_n\subset K_{n+1}[/tex].

On se sert également de la définition suivante.

Définition
Soient [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex] et [tex]\sum f_n[/tex] une série de fonctions méromorphes sur [tex]U[/tex]. On dit que [tex]\sum f_n[/tex] converge uniformément sur un sous-ensemble [tex]A\subset U[/tex] s'il existe un entier [tex]n_0[/tex] tel que pour tout [tex]n\ge n_0[/tex], [tex]A\cap P(f_n)=\emptyset[/tex] et [tex]\sum_{n\ge n_0}[/tex] converge uniformément.

Et voici la proposition.

Proposition
Soient [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex] et [tex]\sum f_n[/tex] une série de fonctions méromorphes sur [tex]U[/tex] qui converge uniformément sur tout compact de [tex]U[/tex]. Alors [tex]\sum f_n[/tex] converge vers une fonction méromorphe [tex]f[/tex] telle que [tex]P(f)\subset \cup_n P(f_n)[/tex].
En outre, [tex]\sum f_n'[/tex] converge uniformément vers [tex]f'[/tex] sur tout compact de [tex]U[/tex].

Preuve
On fixe une exhaustion [tex](K_n)[/tex] de [tex]U[/tex]. Pour chaque entier [tex]n[/tex] fixé, on peut par définition se donner un entier [tex]k_n[/tex] tel que [tex]P(f_k)\cap K_n=\emptyset[/tex] lorsque [tex]k\ge k_n[/tex] et tel que la série [tex]\sum_{n\ge n_k}[/tex] converge uniformément sur [tex]K_n[/tex], et donc sur [tex]V_n=int(K_n)[/tex] (int pour intérieur de).

D'après un corollaire du théorème de Weierstrass (https://www.bibmath.net/dico/index.php? … asscv.html), [tex]F_n=\sum_{k\ge k_n} f_{k|V_n}[/tex] est holomorphe, et donc [tex]F_n^{'}=\sum_{k\ge k_n} f^{'}_{k|V_n}[/tex]. Etant donné qu'une somme finie de fonctions méromorphes est méromorphe, l'égalité [tex]\varphi_n=\sum_{k<k_n}+F_n[/tex] définit une fonction méromorphe sur [tex]V_n[/tex].

On s'assure ensuite que la fonction [tex]\varphi_n[/tex] ne dépend pas de l'entier choisi. On obtient ainsi, pour [tex]z\in V_n[/tex], une fonction [tex]f(z)=\varphi_n(z)[/tex] définie et méromorphe sur [tex]U[/tex].
Comme tout compact de [tex]U[/tex] est contenu dans [tex]V_n[/tex] pour [tex]n[/tex] assz grand, la série converge uniformément vers [tex]f[/tex] sur tout compact de [tex]U[/tex].

En fait, je ne comprends pas l'utilisation de l'intérieur de [tex]K_n[/tex] pour tout [tex]n[/tex] ? En effet, [tex]V_n[/tex] est un ouvert pour tout [tex]n[/tex], et le théorème de Weierstrass d'applique pour des compacts.

Merci pour vos retours !

Dernière modification par Vincent62 (21-06-2024 15:03:24)

Michel Coste

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Re : Série de fonctions méromorphes

Bonjour,
Quand on parle de fonction holomorphe, il vaut mieux que ce soit sur un ouvert. $K_n$ n'est pas ouvert, son intérieur l'est.

Vincent62

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Re : Série de fonctions méromorphes

Merci Michel, effectivement...