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Vincent62

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Isométrie

Bonjour,

On considère [tex]E[/tex] l'ensemble des suites convergeant vers [tex]0[/tex] muni de la norme infinie. Soit [tex]u\in l^1[/tex]. Soit [tex]f_u(v)=\sum_{i\ge 1} u_iv_i[/tex] pour tout [tex]v\in E[/tex]. J'ai montré que cette application est continue sur [tex]E[/tex] et linéaire.

J'essaye de montrer que [tex]f : l^1 \to E', u\to f_u[/tex] est une isométrie bijective. En montrant qu'elle est bijective, il restera à montrer qu'elle est surjective.

J'ai déjà montré que [tex]||f(u)||_{E'}\le ||u||_{l^1}[/tex] et je bloque pour démontrer l'inégalité inverse.

Pour bien faire, il suffirait de trouver une suite particulière [tex](y_n)[/tex] de E telle que [tex]\frac{|f_u(y)|}{||y||_{\infty}}=||u||_{l^1}[/tex].

Je tourne en rond pour le choix de cette suite. Avez-vous une méthode ? J'ai tenté des choses à base de signe([tex]u_i[/tex]), sans succès.

Merci d'avance !

Eust_4che

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Re : Isométrie

Bonjour,

Tu peux prendre la suite $(v_n)$ tels que $v_n(p) = \textrm{sign}(u_i)$ pout tout $p \leq n$ et $0$ sinon, où ici $\textrm{sign}$ désigne la fonction numérique telle que $\textrm{sign}(x) = 1$ si $x \geq 0$ et $-1$ sinon.

Modification : J'ai lu trop vite le message. Je n'ai pas fais attention à la fin. Où le problème avec la suite des $\textrm{sign}(u_n)$ ? Quelle que soit l'entier $n$, on a bien

$$\frac{  \left | f( (v_n) ) \right |}{ \| (v_n) \| } = \left | \sum_{i = 0}^n \textrm{sign}(u_i) u_i \right | = \sum_{i = 0}^n |u_i|. $$

D'où le résultat, en passant à la limite.

E.

Dernière modification par Eust_4che (08-07-2024 12:39:43)

Vincent62

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Re : Isométrie

Merci Eust_4ne ! Encore une fois, je me suis noyé dans un verre d'eau.
J'essaye de compléter la preuve concernant la surjectivité de l'application.