Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut tout le monde,

Permettez moi de participer avec vous dans cette discussion et de vous présenter ce que j'ai trouvé :

Posons   [tex]E=\lbrace  a_1 , a_2 , ... , a_{10} \rbrace [/tex]   l'ensemble de ces dix nombres,

Pour l’existence c'est déjà prouvée, mais je peux affirmer qu'il existe toujours deux sous ensemble disjoint de cardinal [tex]\leq 5[/tex]  vérifiant la propriété.

En effet car le nombre de sous ensembles de cardinal [tex]\leq 5[/tex]  est égale à        [tex]C_{10}^{1} +... + C_{10}^{5} =  637  [/tex]

les sommes possibles pour ces ensembles sont comprises entre          [tex]1[/tex]          et        [tex]490 [/tex]

Donc l'application qui à un ensemble de cardinal ≤5  fait correspondre ça somme ne peut pas être injective.

Et par suite il existe deux sous ensembles qui ont la même somme.

Moi je veux étudier le cas simple où les deux ensembles sont de cardinal [tex]\leq 2[/tex]

Et quand est ce que le Forain sera sûr qu'il est bien dans ce cas  ?

à mon avis le Forain doit nécessairement passer par ce cas, la méthode que je pense convenable est la suivante :

Exemple      [tex]  E  = \lbrace  2 ,  3 , 13 , 25 ,  35 , 45 , 51 ,  66 ,  70 ,  90 \rbrace[/tex]

                            2  3  13  25  35  45  51    66     70    90         E
                                5  15  27  37  47  53    68     72    92         E + 2
                                    16  28  38  48  54    69     73     93        E + 3
                                           38  48  58  64    79     83  103        E + 13
                                                  60  70  76    91     95  115        . . .
                                                         80  86  101  105  125
                                                                96  111  115  135
                                                                       117  121  141
                                                                                136  156
                                                                                         160

Le Forain s’arrêtera lorsqu'un nombre va se répéter par exemple  :

38  =  35 + 3

38  =  25 + 13          Don il s’arrêtera à la  4 e^ème  ligne.

Pour répondre à la question :

Le nombre de sous ensembles de cardinal [tex]\leq 2[/tex]  est égale à  55

les sommes possibles pour ces ensembles sont comprises entre        [tex]a_1[/tex]      et     [tex]a_{10} + a_{9} [/tex]

Donc une condition nécessaire pour tomber sur ce cas est que :       [tex]a_{10} + a_{9} -a_1 +1< 55[/tex]

et qui n'est pas une condition suffisante. mais il y a grande chance pour tomber sur ce cas ( peut-on calculer la probabilité pour voir)

Si le triangle précédant est composé uniquement de nombres différents le Forain va surement perdre ? !

Salut TicToc,

Je ne suis pas du tout l'un des Grosse tête dont parle Yoshi !     mais quand même J'ai fait un petit essai :

La première chose le terme  [tex]2^j[/tex]  n'a pas grand intérêt je peux poser  [tex]2^jx = X[/tex]  montrons alors que [tex]   \sum_{k\in \mathbb{Z}^{d}}\frac{1}{(1+|X-k|)^{d+1}}\leq C\qquad d\geq 1 [/tex]

On a    [tex]   \sum_{k\in \mathbb{Z}^{d}}\frac{1}{(1+|X-k|)^{d+1}}\leq   \sum_{k\in \mathbb{Z}^{d}}\frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}  [/tex]

Montrons d'abord la propriété pour  [tex]d=1[/tex]  :

On a :   [tex]\sum_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}   \leq  \sum_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{1+(X-k)^{2}}  [/tex]     et considérons la fonction complexe    [tex]    f(Z)=  \frac{1}{1+(X-Z)^{2}}    [/tex]

Calculons les résidus de [tex]f[/tex] :   On a     [tex]  f(Z)=\frac{1}{(Z-X+i)(Z-X-i)}  [/tex]   il y a donc deux pôles isolés [tex]Z_0 = X-i[/tex]   et   [tex]Z_1=X+i[/tex]

On trouve   [tex]Res(f(Z) , Z_0)=\lim_{Z\rightarrow X-i}\frac{1}{Z-X-i} = \frac{1}{2} i  [/tex]

Et                 [tex]     Res(f(Z) , Z_1)=\lim_{Z\rightarrow X+i}\frac{1}{Z-X+i} = - \frac{1}{2} i           [/tex]

On remarque la disparition de    [tex]X[/tex]    dans ces deux dernières lignes !

Appliquons maintenant le théorème des résidus appliquée au séries suivant :

[tex]   \sum_{-\infty, n\notin E}^\infty f(n) = -\sum_{Z_k\in E}\mathrm{Res}\left(f(Z); Z_k\right)  \pi\cot(\pi Z_k)  [/tex]       où   [tex]E[/tex]   est l'ensemble de singularités isolées de [tex]f[/tex]

On trouve     [tex]\cot (\pi Z_0) = -i\coth(\pi)[/tex]     et      [tex]\cot (\pi Z_1) = i\coth(\pi)[/tex]       aussi disparition de [tex]X[/tex]

Par suite     [tex]  \sum_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{1+(X-k)^{2}}  = \frac{\pi}{2} \coth(\pi) + \frac{\pi}{2} \coth(\pi) = \pi \coth(\pi)  [/tex]

Donc     [tex]    \sum_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}  \leq  \pi \coth(\pi) [/tex]

Soit       [tex]d \geq 2[/tex]      je commence    par le terme  [tex]d+1[/tex]  et je vais essayer de revenir en arrière :     

Tu n'as rien précisé à propos de la norme à utiliser et on est en dimension fini je choisis la norme 1 :

On a donc :    [tex] |X-k| =  |X_1- k_1| + |X_2 - k_2| + ... + |X_{d+1}  - k_{d+1}|    [/tex]

Donc    [tex] (1+|X-k|)^{2} =  (1 + |X_1- k_1| + |X_2 - k_2| + ... + |X_{d+1}  - k_{d+1}|)^{2}    [/tex]

                                             [tex]   \geq    (1 + |X_1- k_1| + |X_2 - k_2| + ... + |X_{d}  - k_{d}|)^{2} +(X_{d+1}  - k_{d+1})^{2}     [/tex]

Posons       [tex]a = 1 + |X_1- k_1| + |X_2 - k_2| + ... + |X_{d}  - k_{d}|  [/tex]

Sachons que    [tex]   \sum_{k\in \mathbb{Z}^{d+1}}\frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}  = \sum _{k_1 =-\infty}^{k_1=+\infty} ... \sum _{k_{d+1} =-\infty}^{k_{d+1}=+\infty}  \frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}      [/tex]

                                                                          [tex]  \leq    \sum _{k_1 =-\infty}^{k_1=+\infty} ... \sum _{k_{d+1} =-\infty}^{k_{d+1}=+\infty}  \frac{1}{a^2+(X_{d+1}-k_{d+1})^{2}} [/tex]

                                                                          [tex] =      \sum _{k_1 =-\infty}^{k_1=+\infty} ... \sum _{k_{d} =-\infty}^{k_{d}=+\infty}\frac{\pi}{a}.\coth (\pi a)         [/tex]

On peut vérifier que      [tex]  1 \leq  \coth (\pi a) \leq 2   [/tex]

Par suite :             [tex]      \sum_{k\in \mathbb{Z}^{d+1}}\frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}  \leq 2\pi        \sum _{k_1 =-\infty}^{k_1=+\infty} ... \sum _{k_{d} =-\infty}^{k_{d}=+\infty}  \frac{1}{( 1 + |X_1- k_1| + |X_2 - k_2| + ... + |X_{d}  - k_{d}| )^{2}}    [/tex]        disparition du terme [tex]X_{d+1}[/tex]

En répétant la même méthode  et en tenant compte du cas déjà fait     d = 1     on trouve :   

  [tex]      \sum_{k\in \mathbb{Z}^{d+1}}\frac{1}{(1+|X-k|)^{2}}  \leq (2 \pi)^{d+1}      [/tex]

Salut Yoshi,

Je ne suis pas déçu du tout, merci pour l'explication.

C'est vrai l'Informatique rend un peu paresseux mais il aide des fois pour conjecturer et se faire des idées , et la démonstration vient après.

il y a quelque dizaines d'années les calculatrices étaient interdites  - en plus des calculatrices rudimentaires - et se sont des formulaires qui étaient utiliser pour

les valeurs approchées comme les logarithmes et les racines carrés, maintenant petit à petit l'informatique prend ça place parmi les outils de mathématiques

indispensables.

Bonsoir Mohamed,

Bravo, dès le début tu as pu déduire la valeur de    a    ça c'est bien vue,

J'ai une petite remarque : lorsque tu sépares les deux cas  si la fraction de droite est irréductible ça donne (B;C) = (1,6) ou (2,3) ça c'est claire

mais pour le cas réductible pourquoi tu déduis directement que      d / 6  ,   d    ne peut pas par exemple être égale à 8 ou 10 ...

Re,

la suite

Supposons maintenant qu'on est dans le dernier cas     [tex]b=c \leq a[/tex]

L'équation       [tex](I)[/tex]        est donc équivalente à        [tex]a^2(b^2-8) = (2b)^2[/tex]

D'après cette dernière écriture           [tex]b^2-8[/tex]         est forcement un carré entier.

Donc il existe      [tex]\delta \in \mathbb{N}^*[/tex]       tel que :       [tex]b^2 - 8 = \delta ^2[/tex]        eq à        [tex]b^2 - \delta ^2 = 8[/tex]

Équivalent à          [tex](b  - \delta)(b + \delta ) = 8[/tex]        et là il n y a pas beaucoup de cas :

8 = 1 * 8
8 = 2 * 4
8 = 4 * 2
8 = 8 * 1

après je trouve que         [tex]2 b = 9[/tex]        ou       [tex]2b = 6[/tex]       donc       [tex]b = 3[/tex]   

et donc        a  = 6

En fin les solutions sont    (3,3,6)   (3,6,3)    (6,3,3)

Bonsoir Mohamed,

Merci pour la remarque,

                          à mon avis pour corriger l'axiome 3. j'écrirais ça :

3.          Soit     [tex]K[/tex]     un compact de     [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]   Donc      [tex]\exists  a > 0[/tex]      tel que :

             [tex]K \subset  \left  ] a , +\infty \right [[/tex]

             Donc :

            [tex]\left |   \frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \right | \leq e^{-a x}[/tex]       pour tout     [tex]\beta \in K[/tex]      et      [tex]\int_{0}^{+ \infty} e^{-a x}[/tex]        est convergente.

            puis conclure.

            Car la domination suffit sur tout compact       [tex]K[/tex]       par une fonction        [tex]\varphi _K[/tex]         integrable sur        [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]

            Je pense que c'est juste comme ça !

Bonjour,

Je crois que tu es sur la bonne voie, seulement dans l'expression suivante :

il te manque un signe - à droite, aussi comme il n y a pas de conditions initiales il est important à chaque intégration

de faire apparaître une constante.

Bonne chance.

Bonjour,

Bienvenue à la discussion Jeff,

Ton idée est très ingénieuse, je vais essayer de la détailler un peu.

Posons :          [tex]T(\beta) =\int_{0}^{+\infty} \frac{1-e^{-\beta x}}{x} cos{\lambda x} .dx[/tex]              avec            [tex]\lambda \neq 0 \,\,\, et \,\,\, \beta \geq 0[/tex]

Soit la fonction  :

        [tex]f\left (x,\beta \right ) =   \frac{1-e^{-\beta x}}{x} \,\,cos{\lambda x} \,\,dx[/tex]       définie sur         [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex]

J'utilise le théorème de dérivation d'une intégrale dépendante d'un paramètre,

Vérification des axiomes

1.           [tex]f[/tex]          est continue sur    [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex].

2.           [tex]\frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \,\, = \,\,  e^{-\beta x} \cos \lambda x[/tex]        est continue sur        [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex]       

3.          Soit     [tex]K[/tex]     un compact de     [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]   Donc      [tex]\exists  a > 0[/tex]      tel que :

             [tex]K \subset  \left  ] a , +\infty \right [[/tex]

             Donc :

            [tex]\left |   \frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \right | \leq e^{-a x} \cos \lambda x[/tex]       pour tout     [tex]\beta \in   K[/tex]      et      [tex]\int_{K} e^{-a x} \cos \lambda x[/tex]        est convergente.

Conclusion :

           [tex]T[/tex]    est dérivable et on a :     

           [tex]T'(\beta) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\beta x} cos \lambda x\,\, dx[/tex]       

           Pour calculer cette dernière intégrale j'utilise deux fois une intégration par partie et je trouve :

           [tex]T'(\beta) =( \frac{\beta}{\lambda ^2 + \beta ^2})[/tex]

           Par une intégration je trouve :

           [tex]T(\beta) = \ln (\sqrt{ \lambda ^2 + \beta ^2}) + cst[/tex]

          Or     [tex]T(0) = 0[/tex]    Donc :
   
          [tex]cst = \ln \left (\frac{1}{\lambda}\right )[/tex]

          Et en fin       

                                             [tex]T(\beta ) = \ln \left ( \sqrt { 1 + \left ( \frac {\beta }{\lambda }} \right ) ^{2} \right )[/tex]

          Qu'en pensez-vous ?

Salut,

J'ai remarqué une chose après la mis-à-jour c'est que cette écriture déborde du cadre cela n'était pas présent dans la première version.

voilà l'écriture :

[tex]\int_{a}^{+ \infty} \frac{1 - e^{-\beta x}}{x}\, \cos (\lambda x) \, dx   =   \int_{a}^{+ \infty} \left( \frac{\sin (\lambda x)} { \lambda }\right )' \frac{1 - e^{-\beta x}}{x}\, \, dx   =   \left [\frac{1}{\lambda} \sin (\lambda x) \frac {1 - e^{- \beta x}}{x} \right ]_{a}^{+ \infty}  - \frac {1}{\lambda} \int _{a}^{+ \infty} \sin(\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \, dx[/tex]

Aussi ce débordement n'est pas apparent dans la prévisualisation.

Bonsoir,

Pour         [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]        je fais une somme terme à terme des deux égalités suivante :   

                                                                 [tex]fg - gf = \alpha f + \beta g[/tex]

                                                     et         [tex]fg + gf = 0[/tex]

et je trouve                                               [tex]2fg = \alpha f + \beta g[/tex]

je multiplie à gauche cette dernière par       [tex]f[/tex]        qui est un projecteur

et je trouve                                               [tex]2fg =  \alpha f +\beta fg[/tex]

d'où                                                          [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]

Pour la remarque        [tex]\beta[/tex]        ne peut pas être nul car sinon         [tex]\alpha[/tex]        va être nul

les seules solutions du système serons         [tex](-2 , 2 )  \,\,\,  et \,\,\,     ( -1 , 1 )[/tex]       qui contredisent l'hypothèse d'absurde.

Salut yoshi,

Voilà j'ai modifié l'animation :

Une petite remarque : Ce qu'on écrit dans la fenêtre de description de l'image n’apparaît pas à l'affichage !

Salut,

Un petit test d'insertion d'animation,

Le Test marche bien, mon animation est mal faite !