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Malika

Invité

convergence d'une integrale

Bonjour,
j'ai un exercice qui me bloque, j'espère que quelqu'un pourrait m'aider.

voici l'énoncé : Etidier la convergence de l'intégrale suivante; et lorsqu'elle converge, calculer sa valeur :  [tex]\int^{+\infty }_{0}\frac{1-{e}^{-\beta x}}{x}\cos \lambda xdx,\,\,\beta \geq 0.[/tex] .

pour la convergence, j'ai essayé de proceder par convergence. Avec cette methode j'ai de l'espoir. Malheureusement ça me permet de calculer l'intégrale. Ensuite j'ai pensé à l'intégrale cosinus de fourrier. Ben comme je ne m'y retrouve pas dedans j'ai laissé.

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait!!!!!!

freddy

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Re : convergence d'une integrale

Salut Malika,

vous vous connaissez : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4744

Voilà, tu sais ce qu'il te reste à faire.

Bises de Bâle

Mstafa

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Re : convergence d'une integrale

Salut,

Cela est-il juste ? Je m'en doute surtout qu'aucune séparation de cas ne parvient sur le Beta !

On sait que          [tex]\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-e^{-\beta x}}{x}\cos (\lambda x)\, dx = \beta[/tex]       Donc la fonction est

prolongeable par continuité au voisinage de 0.

Au voisinage de    [tex]+ \infty[/tex]     je sépare deux cas :

  1/    Si    [tex]\lambda = 0[/tex]      dans ce cas     [tex]I  =  \int_{a}^{+ \infty} \frac {1 - e^{-\beta x}}{x}\, dx[/tex]  qui est la somme

de deux intégrales      [tex]\int_{a}^{+ \infty} \frac {1}{x} \,dx[/tex]        qui est divergente et    [tex]\int_{a}^{+\infty }\frac{-e^{-\beta x}}{x}[/tex]      qui est une intégrale convergente

Par suite    [tex]I[/tex]      est divergente.

  2/    Si    [tex]\lambda \neq 0[/tex]    j'utilise une intégration par partie comme suit :

   [tex]\int_{a}^{+ \infty} \frac{1 - e^{-\beta x}}{x}\, \cos (\lambda x) \, dx   =   \int_{a}^{+ \infty} \left( \frac{\sin (\lambda x)} { \lambda }\right )' \frac{1 - e^{-\beta x}}{x}\, \, dx[/tex]   

                             [tex]=   \left [\frac{1}{\lambda} \sin (\lambda x) \frac {1 - e^{- \beta x}}{x} \right ]_{a}^{+ \infty}  - \frac {1}{\lambda} \int _{a}^{+ \infty} \sin(\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \, dx[/tex]

        Le premier terme étant une constante et l'intégrale qui suit est convergente donc I est convergente au vois. de l'infinie.

Dernière modification par Mstafa (22-07-2011 22:27:59)

Malika

Invité

Re : convergence d'une integrale

Salut à tous!
Mstafa, 
pour le premier (1/) je crois que c'est ok! la somme d'une integrale divergente plus une integrale convergente est divergente.(je ne suis pas que la seconde intégrale le soit, mais quelque soit sa nature I restera divergente)

Mais pour le 2/,
Il ya des chose qui m'intriguent ,

[tex]\int_{a}^{+ \infty} \frac{1 - e^{-\beta x}}{x}\, \cos (\lambda x) \, dx   =   \int_{a}^{+ \infty} \left( \frac{\sin (\lambda x)} { \lambda }\right )' \frac{1 - e^{-\beta x}}{x}\, \, dx   = 
\left [\frac{1}{\lambda} \sin (\lambda x) \frac {1 - e^{- \beta x}}{x} \right ]_{a}^{+ \infty}  -
\frac {1}{\lambda} \int _{a}^{+ \infty} \sin(\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \, dx[/tex]

        Le premier terme étant une constante et l'intégrale qui suit est convergente donc I est convergente au vois. de l'infinie.

Mais ??????

[tex]\frac {1}{\lambda} \int _{a}^{+ \infty} \sin(\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \, dx[/tex]

qu'est qui te prouve que   cette intégrale est convergente ? 
Et même si c'est le cas je crois son intégrale sera dure à calculer.

J'ai une idée, sans être sur que ça peut servir en tout je le poste ici :
en considérant la dérivabilité de  [tex]{e}^{-\beta x}[/tex]

on a :[tex]qd\,x\rightarrow 0\,,\,\frac{1-{e}^{-\beta x}}{x}\rightarrow \beta[/tex]

Voilà , ça peut servir ici ????

Merci beaucoup de m’éclaircir sur ces quelques points

Mstafa

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Re : convergence d'une integrale

Salut Malika,

Oui ta remarque est juste cette limite peut bien servir et on l'a utilisée à 1/

Pour le 2/

Voilà pour le terme            [tex]- \frac {1}{\lambda} \int _{a}^{+ \infty} \sin(\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \, dx[/tex]

il suffit de remarquer que            [tex]\left |\sin (\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \right |  \leq    \, \frac{\beta x e^{-\beta x} + e^{- \beta x}}{x^2} + \frac {1}{x^2}[/tex]

L’intégrale du deuxième terme étant convergente

pour le premier on a :

                                [tex]\lim_{x \rightarrow + \infty} \,\, x^2\,\, \frac{\beta x e^{-\beta x} + e^{- \beta x}}{x^2} = 0[/tex]       car l'exponentiel l’emporte à la puissance.

par suite       [tex]\frac{\beta x e^{-\beta x} + e^{- \beta x}}{x^2}      \leq    \frac{1}{x^2}[/tex]         à partir d'un certain rang. donc l'intégrale du deuxième terme est convergente.

Pour le calcul de l'intégrale je vais y réfléchir

Dernière modification par Mstafa (11-08-2011 19:22:44)

jeff

Invité

Re : convergence d'une integrale

Bonjour,

j'espère que cela ne vous ennuie pas de m'immiscer. Pour le calcul de l'intégrale j'ai pensé à  dériver en [tex]\beta[/tex] pour avoir une intégrale d'exponentielles facile à calculer. Je n'ai pas vraiment justifier la permutation dérivée-intégrale mais cela n'a pas l'air compliqué. L'intégration en [tex]\beta[/tex] me donne alors [tex]ln\left(\sqrt{1+\left(\dfrac{\beta}{\lambda}\right)^2}\right)[/tex]. Cela concorde avec le fait que l'intégrale diverge en [tex]\lambda=0[/tex]. En outre la permutation limite-intégrale pour [tex]\lambda[/tex] tendant vers l'infini n'est pas possible.

Mstafa

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Re : convergence d'une integrale

Bonjour,

Bienvenue à la discussion Jeff,

Ton idée est très ingénieuse, je vais essayer de la détailler un peu.

Posons :          [tex]T(\beta) =\int_{0}^{+\infty} \frac{1-e^{-\beta x}}{x} cos{\lambda x} .dx[/tex]              avec            [tex]\lambda \neq 0 \,\,\, et \,\,\, \beta \geq 0[/tex]

Soit la fonction  :

        [tex]f\left (x,\beta \right ) =   \frac{1-e^{-\beta x}}{x} \,\,cos{\lambda x} \,\,dx[/tex]       définie sur         [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex]

J'utilise le théorème de dérivation d'une intégrale dépendante d'un paramètre,

Vérification des axiomes

1.           [tex]f[/tex]          est continue sur    [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex].

2.           [tex]\frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \,\, = \,\,  e^{-\beta x} \cos \lambda x[/tex]        est continue sur        [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex]       

3.          Soit     [tex]K[/tex]     un compact de     [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]   Donc      [tex]\exists  a > 0[/tex]      tel que :

             [tex]K \subset  \left  ] a , +\infty \right [[/tex]

             Donc :

            [tex]\left |   \frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \right | \leq e^{-a x} \cos \lambda x[/tex]       pour tout     [tex]\beta \in   K[/tex]      et      [tex]\int_{K} e^{-a x} \cos \lambda x[/tex]        est convergente.

Conclusion :

           [tex]T[/tex]    est dérivable et on a :     

           [tex]T'(\beta) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\beta x} cos \lambda x\,\, dx[/tex]       

           Pour calculer cette dernière intégrale j'utilise deux fois une intégration par partie et je trouve :

           [tex]T'(\beta) =( \frac{\beta}{\lambda ^2 + \beta ^2})[/tex]

           Par une intégration je trouve :

           [tex]T(\beta) = \ln (\sqrt{ \lambda ^2 + \beta ^2}) + cst[/tex]

          Or     [tex]T(0) = 0[/tex]    Donc :
   
          [tex]cst = \ln \left (\frac{1}{\lambda}\right )[/tex]

          Et en fin       

                                             [tex]T(\beta ) = \ln \left ( \sqrt { 1 + \left ( \frac {\beta }{\lambda }} \right ) ^{2} \right )[/tex]

          Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par Mstafa (11-08-2011 21:12:34)

jeff

Invité

Re : convergence d'une integrale

Merci pour le compliment et d'avoir détaillé mon idée. Je ne suis pas d'accord avec la majoration dans le 3. Le cos peut être négatif. Simplement [tex]\left|\dfrac{\partial f}{\partial\beta}(x,\beta)\right|\leq e^{-ax}[/tex]. Mis à part cela je suis d'accord.

Mstafa

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Re : convergence d'une integrale

Bonsoir,

Merci Jeff, tu as tout à fait raison.

Malika,  il est très important que tu vois ça : http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? … dPartie=-1

@+

Dernière modification par Mstafa (24-07-2011 21:42:10)

Malika

Invité

Re : convergence d'une integrale

Merci Mstafa, Merci jeff ..
Merci à tous!

Je viens de visité le lien tout de suite je trouve que c'est excellent.
J'ai retrouvé beaucoup de chose qui me manquait, finalement j'ai décidé de lire beaucoup son cours ensuite d'essayer de traiter les exercices.
Peut être un jour je serais très en maths comme vous autres!!!

Encore Merci infiniment!!!!!!

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : convergence d'une integrale

Salut,

à Mustafa :

Outre la remarque de Jeff, il ne suffit pas  que  la fonction dominante soit intégrable sur le compact pour  conclure, mais  sur  tout l'intervalle parcouru par la variable [tex]x[/tex] à   savoir : [tex]]0,+\infty[[/tex].
D'ailleur, ce n'est qu'une coincidence ici que K  soit  contenu dans l'intervalle de la vriable d'integration.
On  peut avoir une  integrale  de  la  forme  [tex]F(x)=\int_J  f(t,x)  dt[/tex]  où  x  parcourt un  intervalle I   tel  que  I  et  J  soient  disjoints ...

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (26-07-2011 22:30:04)

Mstafa

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Re : convergence d'une integrale

Bonsoir Mohamed,

Merci pour la remarque,

                          à mon avis pour corriger l'axiome 3. j'écrirais ça :

3.          Soit     [tex]K[/tex]     un compact de     [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]   Donc      [tex]\exists  a > 0[/tex]      tel que :

             [tex]K \subset  \left  ] a , +\infty \right [[/tex]

             Donc :

            [tex]\left |   \frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \right | \leq e^{-a x}[/tex]       pour tout     [tex]\beta \in K[/tex]      et      [tex]\int_{0}^{+ \infty} e^{-a x}[/tex]        est convergente.

            puis conclure.

            Car la domination suffit sur tout compact       [tex]K[/tex]       par une fonction        [tex]\varphi _K[/tex]         integrable sur        [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]

            Je pense que c'est juste comme ça !

Dernière modification par Mstafa (11-08-2011 21:13:57)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : convergence d'une integrale

Salut,
Parfait Mustafa !

lehbib

Invité

Re : convergence d'une integrale

hola qe tal? bueno soy mtematico bilengue enn frances , quiero beneficiarme ..

lehbib

Invité

Re : convergence d'une integrale

je peu repondre la convergence de cette integrale .
ton amie lehbib

yoshi

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Re : convergence d'une integrale

Bonsoir,

Bien !
Alors nous attendons...

@+

lehbib_math

Invité

Re : convergence d'une integrale

On sait que                 Donc la fonction est
prolongeable par continuité au voisinage de 0.
Au voisinage de         je sépare deux cas :
  1/    Si          dans ce cas       qui est la somme
de deux intégrales              qui est divergente et          qui est une intégrale convergente
Par suite          est divergente.
  2/    Si        j'utilise une intégration par partie comme suit :

yoshi

Modo Ferox

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Re : convergence d'une integrale

Salut,

message incomplet ou vide de sens.
Serait-ce une blague ?

@+