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Mstafa

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Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Bonjour tout le monde,

Merci de bien vouloir réfléchir avec moi sur la question suivante :

E étant un   [tex]  \mathbb{C}   [/tex]   espace vectoriel de dimension finie et   [tex]    f    [/tex]  et [tex]  g   [/tex] deux projecteurs distincts,

non nuls et vérifiant

                               [tex]  fg - gf  = \alpha f + \beta g      \lefft( \alpha \in \mathbb{C}^* , \beta \in \mathbb{C} \rigth)     [/tex]              " Notation [tex]  fg = f \circ g [/tex]"

Montrer que :

                              [tex]   \alpha = -1   [/tex]          et         [tex]  \beta = 1  [/tex]

ou

                               [tex]   \alpha = 1   [/tex]          et         [tex]  \beta = -1   [/tex]

Dernière modification par Mstafa (15-07-2011 16:43:36)

freddy

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut mon ami,

je peux déjà affirmer que [tex]\alpha+\beta=0[/tex].

Tu veux savoir comment je fais ?

Au fait, tu veux un coup de main ou bien c'est une "colle" ?

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut Freddy,

Oui bien sur que je veux savoir comment tu fais, moi j'arrive à le monter mais seulement dans le cas [tex] \alpha \ne 1 [/tex]

Merci

Dernière modification par Mstafa (13-07-2011 15:39:53)

freddy

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Re,

mon ami, que veux tu que je fasse ?

De deux choses, l'une : 

  1)  soit tu sais faire l'exo et je ne vais pas faire l'étudiant, il y a longtemps que je suis passé de l'autre côté de la barrière ;

  2) soit tu ne sais pas le faire et alors, explique moi jusqu'où t'es arrivé ?

Bonjour chez toi !

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut mon ami,

voilà ce que j'ai fait : mais c'est seulement dans le cas    [tex]\alpha\,\neq \,1[/tex] 

On a
             
          [tex] fg - gf = \alpha f + \beta g \Rightarrow fg - \alpha f = gf + \beta g \Rightarrow f \left( g - \alpha Id_E \right)  = g \left(  f +\beta Id_E \right)  [/tex]

[tex] \alpha [/tex] est different de   [tex] 0 [/tex]   et de   [tex] 1 [/tex]   Donc [tex] g - \alpha Id_E  [/tex] est inversible car [tex] f [/tex] est un projecteur et ses seuls valeurs propre sont [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex] par suite

[tex] f =  g \left(  f +\beta Id_E \right) \left( g - \alpha Id_E \right)^{-1}

[/tex]      d'où    [tex] Imf \subset Img [/tex]

Et par suite     [tex] gf = f [/tex]

Je peut dire que     [tex] \beta \neq 0 [/tex]    Car sinon   [tex] Tr\left[ f ; g \right] = 0 = \alpha f [/tex]    or    [tex] f \neq 0 \Rightarrow \alpha = 0  [/tex]     contradiction

Par suite [tex] fg - f = \alpha f + \beta g \Rightarrow  g = \frac{1}{\beta} \left( fg - f - \alpha f \right)  \Rightarrow   [/tex]

[tex]
Img \subset Imf
[/tex]

Par suite

[tex]
Imf = Img
[/tex]

Ce qui implique que         [tex] Tr(f) = Tr(g)  [/tex]     et donc       [tex] 0 = TR(\alpha f + \beta g) = \alpha + \beta [/tex]

On sait que        [tex] fg = g  [/tex]    et    [tex] gf = f [/tex]     donc     [tex] g - f = \alpha f + \beta g    [/tex]

Or [tex] f [/tex] et [tex] g [/tex] sont distincts donc [tex] f [/tex] et [tex] g [/tex] forment un système libre dans   [tex] \mathcal{L}\left( E \right)   [/tex]   par suite   [tex] \alpha = -1 [/tex]   et   [tex] \beta = 1 [/tex]

Merci beaucoup c'est long !

freddy

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut !

tu voulais savoir quoi, alors ?

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

salut,

est ce que cela est juste ?

y-a-il une autre méthode ?

et Le cas  [tex]\alpha = 1[/tex]

et merci.

freddy

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut,

bon, si je compose à droite et à gauche par f et g, j'obtiens les résultats suivants :

[tex]fg-f(gf)=\alpha f+\beta fg[/tex]

[tex]g(fg)-gf=\alpha gf+\beta g[/tex]

[tex]f(gf)-gf=\alpha f+\beta gf[/tex]

[tex]fg-g(fg)=\alpha fg+\beta g[/tex]

En sommant, on obtient :

[tex](\alpha +\beta )\times (fg+gf) = 0_E[/tex]

Donc soit [tex]\alpha +\beta  = 0[/tex] ou [tex]fg+gf = 0_E[/tex]

PS : on est d'accord que [tex]fg =f\circ g [/tex] ?

Groupoid Kid

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut tous les deux :)

Freddy, je crois que tu es allé un peu vite en besogne, il y a des f et des g qui ont disparu... J'avais pris la même piste, mais je n'ai rien trouvé de probant.

Mstafa, dans ta preuve tu as utilisé les propriétés de la trace pour certaines étapes. As-tu seulement pensé à appliquer la trace sur l'égalité de départ ? Il me semble que ça tue le cas [tex]\alpha=1[/tex]. Sinon je n'ai pas vu de grosse erreur, juste quelques petites fautes parce que tu vas trop vite ;-)

EDIT : en fait non ça ne marche pas, j'ai fait la même boulette que Mstafa ^^

Dernière modification par Groupoid Kid (15-07-2011 12:50:54)

freddy

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut,

dis moi si je me trompe, j'ai utilisé la propriété d'idempotence des projecteurs et l'associativié de la composition des endomorphismes, soit :

[tex]f\circ f = f\;\text{et}\;f\circ (g\circ f)=(f\circ g)\circ f [/tex]

C'est pour cela que des termes ont disparu.

Me serais je trompé ?

Dernière modification par freddy (15-07-2011 14:47:36)

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Merci Freedy,

C'est une excellente méthode que tu viens de trouver, et c'est exactement ce que je cherche une méthode simple.

Oui par définition un endomorphisme nilpotent  vérifie  [tex]    f^2  = f    [/tex]  aussi l'associativité de la composition d'endomorphisme est bien assurée.

En Sommant les égalités que tu as trouvé on trouve :

[tex]2\left(fg\,-\,gf\right)\,=\,2\left(\alpha\,f\,+\beta\,g\right)\,+\,\left(\alpha\,+\beta\right)\left(gf\,+\,fg\right)\,[/tex]

et en simplifiant on trouve           [tex]  \left(\alpha\,+\beta\right)\left(gf\,+\,fg\right) =0  [/tex]         car       [tex] fg - gf  = \alpha f + \beta g  [/tex]

et en calculant la trace on trouve :  [tex]\left(\alpha\,+\,\beta\right)Tr\left(fg\,+gf\right)\,=\,0[/tex]

Donc                                                [tex]\left(\alpha\,+\,\beta\right)2Trf\times Trg,=\,0[/tex]

Donc                                                [tex]\alpha\,+\,\beta=\,0[/tex]

Car        [tex]   Trf  = Rg(f) \neq 0   [/tex]          vue que f est un projecteur.  De même pour  [tex] g [/tex]

Sans oublier comme notation : [tex] f g = f \circ g [/tex]  pardon  " je l'ajoute à l’énoncé "

Dernière modification par Mstafa (16-07-2011 11:20:29)

Groupoid Kid

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Ok, mes excuses Freddy, je me suis cassé la tête à faire des combinaisons bizarres pour éliminer des termes alors qu'il suffisait d'utiliser la formule initiale ^^ Bien vu !

et en calculant la trace on trouve :  [tex]\left(\alpha\,+\,\beta\right)Tr\left(fg\,+gf\right)\,=\,0[/tex]

Donc                                                [tex]\left(\alpha\,+\,\beta\right)2Trf\times Trg,=\,0[/tex]

Aïe, aïe, aïe ! C'est bien ce qui me semblait Mstafa, tu fais des bêtises avec la trace. Souviens-toi de tes cours, on a dû particulèrement insister sur le fait que la trace ne commute pas au produit ! Par contre, ce qui est vrai par exemple c'est que :
[tex]Tr(fg-gf)=Tr(fg)-\mathbf{Tr(gf)}=Tr(fg)-\mathbf{Tr(fg)}=0=\alpha Tr(f)+\beta Tr(g)[/tex]
Cette égalité te permet dans le cas [tex]\alpha+\beta=0[/tex] d'obtenir plus vite que [tex]rang(f)=rang(g)[/tex] et de conclure par ta méthode.
Il reste aussi à montrer que le cas fg+gf=0 ne peut pas se produire, par exemple en montrant qu'alors f et g commutent ce qui est incompatible avec les hypothèses.

J'ai cherché des méthodes plus élégantes pour obtenir [tex]\alpha=\pm1[/tex] (notamment avec les carrés des équations diverses obtenues), mais ta méthode par disjonction de cas est beaucoup, beaucoup plus rapide.

PS : attention à ne pas confondre nilpotent et idempotent ;-)

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut Groupoid Kid,

Tu as tout à fait raison ce qui est juste c'est      [tex] ( \alpha + \beta )2Tr(fg) = 0 [/tex]      cependant rien ne prouve que     [tex] Tr(fg) \neq 0 [/tex]

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut G K,

Il reste aussi à montrer que le cas fg+gf=0 ne peut pas se produire, par exemple en montrant qu'alors f et g commutent ce qui est incompatible avec les hypothèses.

Je ne sais pas si tu as pu prouver ça ? il ne me parais pas évident du tout.

J'ai trouvé une petite chose, mais je me confronte à une question de logique :

Voilà :         J'ai déjà prouvé que si        [tex]     \alpha \neq 1  \Rightarrow  [/tex]          [tex]    \alpha = -1[/tex]    et      [tex]  \beta = 1    [/tex]            [tex]     ( I )     [/tex] 

Maintenant je veux inverser les rôle de       [tex]     \alpha \,\,\, et \,\,\, \beta     [/tex]     et contenue de l'hypothèse     [tex]    gf - fg  =  -\beta g - \alpha f   [/tex]

Je peux déduire que           si          [tex]     - \beta \neq 1      [/tex]           [tex]     \Rightarrow [/tex]            [tex] - \beta = -1  \,\,\,  et \,\,\, -\alpha = 1     [/tex]

D'où                                  si          [tex]     \beta \neq -1     [/tex]        [tex]     \Rightarrow     [/tex]         [tex]     \alpha  = -1 \,\,\, et \,\,\,  \beta = 1      [/tex]         [tex]     ( II )     [/tex]

Je peux Conclure de    [tex]     ( I )     [/tex]     et   [tex]     ( II )     [/tex]      que :               [tex]     ( \alpha , \beta ) = ( -1 , 1 ) \,\,\, ou \,\,\, ( \alpha , \beta ) = ( 1 , -1 )     [/tex]

Qu'en pensez-vous ?

Groupoid Kid

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Tâchons de dépatouiller un peu tout.

La méthode de Freddy est très élégante, mais pas achevée : il faut traiter le cas fg+gf=0 (pour te répondre oui, je sais faire, c'est très facile), et surtout montrer que [tex]\alpha=\pm 1[/tex] (et là il faut soit employer ta méthode soit trouver un autre argument).

Si en revanche tu utilises ta méthode, séparément pour [tex]\alpha\neq 1[/tex] et [tex]\beta\neq -1[/tex], le seul que tu ne traites pas est : que se passe-t-il si jamais on a simultanément [tex]\alpha=1[/tex] et [tex]\beta=-1[/tex] ? La réponse est ... eh bien qu'il n'y a rien à faire dans ce cas puisqu'on a déjà ce qu'on veut ;-) Donc modulo cette petite gymnastique, ta conclusion est correcte.

PS : bon courage à nos admins qui ont l'air de travailler d'arrache-pied ce soir ! :-)

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Salut Groupoid Kid,

     Je suis d'acore avec toi le cas qui reste n'est pas en contradiction avec la conclusion.

Et si je veux me baser sur la méthode de Freddy qui est comme tu dis élégante je dois montrer ça :

[tex]( \alpha + \beta )(fg + gf ) = 0  \,\,\, \Rightarrow \,\,\,  \alpha + \beta = 0[/tex]

Supposons par l'absurde que        [tex]\alpha +\beta \neq 0[/tex]        Donc        [tex]fg + gf = 0[/tex]        en prenant en

considération la définition d'un projecteur et l'hypothèse        [tex]fg - gf = \alpha f + \beta g[/tex]

je trouve que        [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]         et        [tex]-( 2 + \alpha ) gf = \beta g[/tex]

En multipliant l'égalité        [tex]fg + gf = \alpha f + \beta g[/tex]        par        [tex]( 2 - \beta )( 2 + \alpha )[/tex]         On trouve

[tex]( 2 + \alpha ) \alpha f + ( 2 - \beta ) \beta g = \alpha ( 2 - \beta )( 2 + \alpha ) f + \beta ( 2 - \beta )( 2 + \alpha ) g[/tex]

Comme le système        [tex]\left \{ f , g \left \}[/tex]        est libre après résolution d'un système on trouve que        [tex]\alpha = -1[/tex]          et        [tex]\beta = 1[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\,\, \alpha + \beta = 0[/tex]        contradiction

Donc on a toujours        [tex]\alpha + \beta = 0[/tex]

Dernière modification par Mstafa (17-07-2011 17:20:29)

Groupoid Kid

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

je trouve que        [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]         et        [tex]-( 2 + \alpha ) gf = \beta g[/tex]

Je ne vois pas trop comment tu fais, on a l'impression que tu affirmes gf=f ?... Mais même en admettant que ce soit vrai, je ne vois pas comment tu parviens à exclure la solution [tex](\alpha,\beta)=(-2,0)[/tex] par exemple.  Elle m'a l'air de satisfaire ton égalité.

Pour ma part, dans le cas fg+gf=0 j'ai montré en calculant gfg de deux façons que f et g commutaient, et par suite [tex]\alpha f+\beta g=0[/tex] ce qui est impossible puisque [tex]\alpha =\!\!\!\!\!/\ 0[/tex].

Mais il reste tout de même à montrer que [tex]\alpha=\pm 1[/tex]...

Mstafa

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Re : Projecteurs d'un espace vectoriel de dim finie

Bonsoir,

Pour         [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]        je fais une somme terme à terme des deux égalités suivante :   

                                                                 [tex]fg - gf = \alpha f + \beta g[/tex]

                                                     et         [tex]fg + gf = 0[/tex]

et je trouve                                               [tex]2fg = \alpha f + \beta g[/tex]

je multiplie à gauche cette dernière par       [tex]f[/tex]        qui est un projecteur

et je trouve                                               [tex]2fg =  \alpha f +\beta fg[/tex]

d'où                                                          [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]

Pour la remarque        [tex]\beta[/tex]        ne peut pas être nul car sinon         [tex]\alpha[/tex]        va être nul

les seules solutions du système serons         [tex](-2 , 2 )  \,\,\,  et \,\,\,     ( -1 , 1 )[/tex]       qui contredisent l'hypothèse d'absurde.