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#1 29-09-2011 19:12:13
- Picatshou
- Membre
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- Messages : 272
égalité
bonsoir tout le monde ,
Soit [tex]n \in N[/tex]. On considère la subdivision uniforme xi = a + ih avec
i = 0..n et h =[tex]\frac{b-a}{n}[/tex]
Soit P le polynôme d’interpolation de Lagrange de
degré<= n vérifiant P(xi ) = f (xi ), i = 0..n. On obtient alors
[tex]\int^{b}_{a} f(X)dX[/tex]est à peu prés égale à[tex]\int^{b}_{a}P(X)dX[/tex]=[tex]\int^{b}_{a}\sum^{i=n}_{i=0}f(Xi)Li(X)dX[/tex]
En utilisant le changement de variables x = a + ht dans les Li (x), on obtient :
[tex]\int^{b}_{a}P(X)dX[/tex]=[tex]\sum^{i=n}_{i=0}h f(Xi) ai [/tex] avec ai=[tex]\int^{n}_{0}\prod^{k=0,k\neq i}_{k=n}\frac{t-k}{i-k}dX[/tex]
on a :T(h)est à peu prés égale à [tex]\sum^{i=n-1}_{i=0}(h/2)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]est à peu prés égale à[tex]\int^{b}_{a}f(X)dX[/tex]
la question est de montrer que: T(h/2)=T(h)/2 +[tex]\sum^{k=n-1}_{k=0}f(a+kh+h/2)[/tex]
En effet je n'ai pas pu la démontrer j'ai pu uniquement écrire ce qui suit:
T(h)/2 +[tex]\sum^{k=n-1}_{k=0}f(a+kh+h/2)[/tex]=[tex]\sum^{i=n-1}_{i=0}(h/4)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]+[tex]\sum^{k=n-1}_{k=0}f(Xi+((b-a)/2n))[/tex]
Merci beaucoup pour toute aide :)
Dernière modification par Picatshou (02-10-2011 11:16:14)
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#2 29-09-2011 19:26:21
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : égalité
Salut Picatshou,
Il faudrait te relire après avoir posté...
Tu as une formule qui ne s'affiche pas à cause du k#i.
\int^{n}_{0}\prod^{k=0,k#i}_{k=n}\frac{t-k}{i-k}dX
Si je le retire, l'affichage se fait :
[tex]ai=\int^{n}_{0}\;\prod^{k=0}_{k=n}\frac{t-k}{i-k}dX[/tex]
Comme je ne sais pas à quoi correspond ce k#i, je te laisse le soin d'y réfléchir et d'y remédier...
@+
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#4 29-09-2011 20:22:20
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : égalité
Salut Picatshou
Alors,
* soit tu mets les mains dans ta formule et tu mets \neq à la place de # ,
* soit dans l'éditeur d'équation de Fred, tu cliques sur l'onglet divers et là tu trouves [tex]\neq[/tex]
Et ta formule devient :
[tex]ai\;=\;\int^{n}_{0}\;\prod^{k=0,k\neq i}_{k=n}\frac{t-k}{i-k}dX[/tex]
Ça te va?
@+
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#6 29-09-2011 21:49:46
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : égalité
Bonsoir Picatshou,
Comme très souvent quand tu postes une question, il y a plein d'incohérences dans ce que tu écris... (et aussi de nombreuses choses fausses).
En tout cas, l'égalité que tu demandes de démontrer est fausse en générale (regarde ce qu'elle donne lorsque f=1).
Et puis, comme tu n'as pas précisé qui était la fonction f (j'imagine que ce n'est pas un polynôme)... les égalités que tu écris comme
[tex]\int_a^b f(X)dX = \int_a^b P(X)dX[/tex] ne sont certainement pas vraies... (c'est même tout l'objet de ce type d'exercice : approcher [tex]\int_a^b f(X)dX[/tex] par [tex] \int_a^b P(X)dX[/tex].
Essaie donc de repréciser tout ceci sans écrire de choses fausses et je reviens répondre...
Bon courage,
Roro.
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#9 02-10-2011 09:48:48
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : égalité
Salut Picatshou,
Effectivement ce symbole n'est pas présent dans l'éditeur d'équation de Fred...
Pour ton information, en latex c'est : \approx qui donne [tex]\approx[/tex].
Tu n'as qu'à écrire ça à la main dans ta formules quand tu en as besoin...
Rappel :
Essaie donc de repréciser tout ceci sans écrire de choses fausses et je reviens répondre...
As-tu satisfait à la demande de Roro ? Je ne crois pas...
@+
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#10 02-10-2011 11:17:37
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : égalité
Salut Picatshou,
Effectivement ce symbole n'est pas présent dans l'éditeur d'équation de Fred...
Pour ton information, en latex c'est : \approx qui donne [tex]\approx[/tex].Tu n'as qu'à écrire ça à la main dans ta formules quand tu en as besoin...
Rappel :
Roro a écrit :Essaie donc de repréciser tout ceci sans écrire de choses fausses et je reviens répondre...
As-tu satisfait à la demande de Roro ? Je ne crois pas...
@+
Merci pour la réponse mr Yoshi , j'espère maintenant que j'ai satisfait à la demande de Roro :)
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#11 02-10-2011 20:06:51
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : égalité
Bonsoir,
Je crois que la remarque la plus importante que j'ai formulée est la suivante :
"l'égalité que tu demandes de démontrer est fausse en générale (regarde ce qu'elle donne lorsque f=1)"
A partir de là, je ne vois pas ce que je peux dire de plus !
Roro.
P.S. Les modifications que tu as apportées concernant le symbole [tex]\approx[/tex] sont les bienvenues dans certains cas, mais malvenues dans d'autres cas : comment est définie ta fonction T ?
P.P.S Le post scriptum précédent est "négligeable" par rapport à ma remarque principale !
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#14 05-10-2011 19:40:56
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : égalité
Bonsoir Picatshou,
J'attend toujours que tu répondes à mes remarques...
Ceci dit, la question de Mstafa rejoignait ma remarque anodine (P.S. de mon précédent message) et tu réponds encore une fois à coté de la plaque : nulle part dans ton énoncé tu nous dis précisément comment est définie la fonction T. Pire tu dis maintenant que T(h) est une fonction définie par f(x) et P(x) !
Bonne soirée,
Roro.
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#15 14-10-2011 23:31:10
- Picatshou
- Membre
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Re : égalité
Bpnjour,
j'espère que si j'ajoute celà à l'énoncé il deviendra plus clair :
Soient f une fonction de classe C^n+1 sur un intervalle [a; b] et P le polynôme de Lagrange de f en les points [tex]x_0 < x_1 < .....< x_n\; \in [a,b][/tex]
Alors
[tex] f(x)-P(x)= \frac{(x-x_0)(x-x_1)......(x-x_n)}{(n+1)!}f ^{n+1}[/tex] (g)
où [tex] a= min(x,x_0) < g < max(x, x_n)= b[/tex]
On subdivise l’intervalle [a; b] en n intervalles : [tex]x_i = a + ih [/tex], i = 0...n-1
et h = [tex]\frac{b-a}{n}[/tex]
On peut alors approcher [tex]\int^{b}_{a}f(x)dx [/tex] par la somme des aires des rectangles de longueur [tex]f\left( \frac{x_{i+1}+x_i}{2}\right)[/tex] et de largeur [tex] x_{i+1} - x_i [/tex]
merci pour tout ceux qui pourront m'aider :)
Dernière modification par Picatshou (14-10-2011 23:33:53)
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#17 15-10-2011 13:36:00
- Picatshou
- Membre
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Re : égalité
Bonjour , la question est de montrer que :T(h/2)=T(h)/2 +[tex]\sum^{k=n-1}_{k=0}f(a+kh+h/2)[/tex]
avec: P est le polynôme d’interpolation de Lagrange de
degré<= n vérifiant P(xi ) = f (xi ), i = 0..n. On obtient alors
[tex]\int^{b}_{a} f(X)dX[/tex]est à peu prés égale à[tex]\int^{b}_{a}P(X)dX[/tex]=[tex]\int^{b}_{a}\sum^{i=n}_{i=0}f(Xi)Li(X)dX[/tex]
En utilisant le changement de variables x = a + ht dans les Li (x), on obtient :
[tex]\int^{b}_{a}P(X)dX[/tex]=[tex]\sum^{i=n}_{i=0}h f(Xi) ai [/tex] avec ai=[tex]\int^{n}_{0}\prod^{k=0,k\neq i}_{k=n}\frac{t-k}{i-k}dX[/tex]
on a :T(h)est à peu prés égale à [tex]\sum^{i=n-1}_{i=0}(h/2)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]est à peu prés égale à[tex]\int^{b}_{a}f(X)dX[/tex]
j'espère que l'énoncé est plus clair maintenant
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#18 15-10-2011 22:12:12
- Roro
- Membre expert
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Re : égalité
Bonsoir Picatshou,
Je répond une dernière fois sur ce sujet...
Dans ton dernier message, tu recommences à écrire des choses sans les définir correctement (COMMENT EST DEFINIE LA FONCTION T ?)
Si (j'imagine ?) c'est ce que tu suggères dans la fin de ton post :
[tex]T(h) = \sum_{i=0}^{n−1}(h/2)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]
alors le résultat que tu demandes de montrer est FAUX pour la fonction f=1 (on obtient [tex]\frac{hn}{2} = \frac{hn}{2}+n[/tex]).
Bonne soirée,
Roro.
Dernière modification par Roro (15-10-2011 22:13:03)
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#19 16-10-2011 09:34:03
- Picatshou
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Re : égalité
Bonjour,
Bon c'est ce que je peux dire à propos de T, en effet, en appliquant la méthode de Newton-Côtes avec n = 1 sur chaque
intervalle [xi , xi+1], i = 0..N-1.
On obtient :
[tex]\int^{b}_{a} f(X)dX[/tex]=[tex]\sum^{i=0}_{N-1}\int^{Xi+1}_{Xi} f(X)dX[/tex][tex]\approx[/tex]T(h)
avec
T(h)=[tex]\sum^{i=N-1}_{i=0}(h/2)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]
J'espère que c'est plus clair maintenant :)
merci pour tout support :)
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