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Bonjour tout le monde,
On peut montrer que la norme [tex]L^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] d'une fonction test [tex]\phi[/tex] définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est majorée par sa norme [tex]H^1(\mathbb{R})[/tex] multiplié par un facteur numérique.
Je voudrai de même montrer que [tex]||\phi||_{L^2(\mathbb{R})} \leq ||\phi||_{L^{\infty}(\mathbb{R})}[/tex], c'est à dire [tex]\phi(x)^2 \ge \displaystyle \int_{\R}\phi ^2(t)dt[/tex] pour presque tout [tex]x[/tex].
Le sup de [tex]\phi[/tex] est atteint sur [tex]\mathbb{R}[/tex] : [tex]||\phi||_{L^{\infty}(\mathbb{R})}=\phi(x_0)[/tex].
En notant [tex]A>0[/tex] un réel tel que le support de [tex]\phi[/tex] est compris dans [tex][-A,A][/tex], je trouve que [tex]\displaystyle \int_{\R}\phi ^2(t)dt \le 2A\phi(x_0)^2[/tex].
Je ne sais pas comment me débarasser du A.

Bien cordialement.

Bonsoir à tous,

Dans un exercice de proba, on s'intéresse à l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de la loi de Weibull caractérisée par la densité [tex]p(x)=a \lambda ^a x^{a-1}e^{-(\lambda x)^a} 1_{\mathbb{R}^{\star}_{+}}(x)[/tex] avec [tex]a,\lambda >0[/tex].
L'EMV de [tex]\lambda[/tex] à [tex]a[/tex] fixé est [tex]\hat \lambda_n(X) = \Big ( \dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^n X_i^a} \Big )^{1/a}[/tex].
Mais maximiser par rapport à [tex]a[/tex] la log-vraisemblance lorsque [tex]\lambda=\lambda_n[/tex] n'est pas évident.
[tex]\dfrac{\partial l_n}{\partial a}(x,a)=\dfrac{n}{a}-n\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n ln(x_i) x_i^a }{\sum\limits_{i=1}^n x_i ^a }+\sum\limits_{i=1}^n ln(x_i) [/tex].
Impossible d'étudier les variations.
L'exercice demande donc d'étudier les limites de [tex]\dfrac{\partial l_n}{\partial a}(x,a)[/tex] en [tex]a=0^+[/tex] et [tex]a=+\infty[/tex].
Je bloque sur la limite en [tex]a=+\infty[/tex].
Comment montrer que [tex]\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n ln(x_i) x_i^a }{\sum\limits_{i=1}^n x_i ^a } \longrightarrow max_{1\le j \le n }(ln(x_j))[/tex] quand [tex]a \to +\infty[/tex]?

Bien cordialement.

Bonsoir à tous,

Dans [tex]H^1(\mathbb{R}) \times H^1(\mathbb{R})[/tex] muni du produit scalaire [tex]<(u_1,v_1),(u_2,v_2)>=<u_1,u_2>_{H^1}+<v_1,v_2>_{H^1}[/tex], on considère la forme bilinéaire [tex]a((u_1,v_1),(u_2,v_2))=<(u_1,v_1),(u_2,v_2)>+\gamma \Big (\displaystyle \int_{\mathbb{R}} u'_1 v'_2 + v'_1u'_2 \Big ) [/tex] où [tex]\gamma \in \mathbb{R}[/tex].
Je cherche à montrer que si [tex]|\gamma | <1[/tex], alors a est coercive.
[tex]a((u,v),(u,v))=\|(u,v)\|_{H^1(\mathbb{R})^2}^2+2 \gamma \displaystyle \int_{\mathbb{R}} u'v'[/tex]. Donc, il s'agit de minorer [tex]2 \gamma \displaystyle \int_{\mathbb{R}} u'v'[/tex]. J'ai essayé de retrancher et ajouter [tex]u'[/tex], des petites techniques comme ça, ça ne m'a rien donné malheureusement.

Auriez vous des idées ?

Bien cordialement.

Bonsoir tout le monde,

dans un exercice, on demande de montrer que pour tout [tex]\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d)[/tex] et [tex]1 \le i\le d[/tex] : [tex]||\frac{\partial \phi}{\partial x_i } ||_{L^2} \le \big ( ||\phi||_{L^2}^2+||\Delta \phi ||_{L^2}^2 \big ) ^{1/2}[/tex]
en utilisant la transformée de Fourier de [tex]\phi[/tex] définie par [tex]F \phi(\xi) = \displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} \phi(x) e^{-ix.\xi}dx[/tex].
Je ne connais pas le cours sur la transformée de Fourier, et je ne sais pas s'il y a une inégalité entre norme de la transformée et norme de la fonction. Est ce indispensable de connaître le cours ?
Si vous avez une idée pour établir cette inégalité, merci de partager votre piste de réflexion.
Bien à vous