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guessou

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Une formule en intégrales 2D.

Bonsoir à tous,

On considère [tex]\Omega=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 , \quad x_2>0 \}[/tex] et  [tex]C_c^{\infty}(\overline{\Omega})=\{u:\Omega \longrightarrow \mathbb{R}, \exists v \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^2) \quad u=v_{| \Omega} \}[/tex].  On considère [tex]v \in C_c^{\infty}(\overline{\Omega})[/tex] et deux fonctions test [tex]\psi[/tex] et [tex]g[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] tel que [tex] \psi(0)=1[/tex]. En utilisant la formule d'intégration par parties, on montre que

[tex]\displaystyle \int_{\mathbb{R}} v(x_1,0)g(x_1)dx_1=\int_{\Omega} dx_1 dx_2 \Big (- \dfrac{\partial v}{\partial x_2}(x_1,x_2) g(x_1) \psi(x_2)- v(x_1,x_2) g(x_1)\dfrac{d \psi}{dx_2}(x_2) \Big )[/tex]      (*).

Je voudrai en déduire que pour tout [tex]v \in C_c^{\infty}(\overline{\Omega})[/tex] et [tex]h \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] :

[tex]\displaystyle \int_{\mathbb{R}} v(x_1,0)\dfrac{dh}{dx_1}(x_1)dx_1=\int_{\Omega} dx_1 dx_2 \Big (- \dfrac{\partial v}{\partial x_2}(x_1,x_2) \dfrac{dh}{dx_1}(x_1) \psi(x_2)+\dfrac{\partial v}{\partial x_1}(x_1,x_2) h(x_1)\dfrac{d \psi}{dx_2}(x_2) \Big ).[/tex]

Lorsque je pose [tex]g=dh/dx_1[/tex] dans (*), et que j'intègre par parties le membre à l'extrême droite de (*), je trouve

[tex]\displaystyle \int_{\mathbb{R}} v(x_1,0)\dfrac{dh}{dx_1}(x_1)dx_1=\int_{\Omega} dx_1 dx_2 \Big (- \dfrac{\partial v}{\partial x_2}(x_1,x_2) \dfrac{dh}{dx_1}(x_1) \psi(x_2)+\dfrac{\partial v}{\partial x_1}(x_1,x_2) h(x_1)\dfrac{d \psi}{dx_2}(x_2)\Big ) [/tex]
[tex]- \int_{\mathbb{R}} v(x_1,0)h(x_1)dx_1 \dfrac{d\psi}{dx_2} (0) [/tex]

Comme on n'a pas nécessairement [tex] \dfrac{d\psi}{dx_2} (0)=0[/tex], je pense avoir fait une faute, mais j'ai beau revoir l'IPP que j'ai faite dans le membre de droite, rien n'y fait.

Auriez vous des idées ?

Bien cordialement.

Dernière modification par guessou (14-01-2014 22:35:20)

guessou

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Re : Une formule en intégrales 2D.

Il y a un lemme qui affirme que pour tout ouvert [tex]\Omega[/tex] et tout compact [tex]K \subset \Omega[/tex], il existe [tex]\psi \in D(\Omega)[/tex] comprise entre 0 et 1, et égale à 1 sur K.
Pour [tex]\Omega=\mathbb{R}[/tex] et [tex]K=[-1,1][/tex] par exemple, il existe [tex]\psi \in D(\mathbb{R}) [/tex] qui vaut 1 en 0 et dont la dérivée en 0 est nulle. En travaillant avec ce [tex]\psi[/tex], on peut conclure que le terme de bord qui apparaît est nul.

guessou

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Re : Une formule en intégrales 2D.

Peut on montrer aussi que pour [tex]u,v \in C_c^{\infty}(\overline{\Omega})[/tex],

                                                                  [tex]\displaystyle \int_{\Omega} \Big (- \dfrac{\partial v }{\partial x_2} \dfrac{\partial u }{\partial x_1} + \dfrac{\partial v }{\partial x_1} \dfrac{\partial u}{\partial x_2} \Big ) = \int_{\partial \Omega} v \dfrac{\partial u }{\partial x_1}[/tex] ?

Dernière modification par guessou (18-01-2014 12:31:43)

Roro

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Re : Une formule en intégrales 2D.

Bonjour guessou,

Il me semble qu'il suffit de faire une intégration par partie ! et je ne trouve pas ce que tu annonces... (en particulier lorsque u=v ton résultat est étonnant)
Comment as-tu fais ?

Roro.

guessou

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Re : Une formule en intégrales 2D.

Je suppose que tu parles de la deuxième égalité. Je trouve cette question dans un sujet d'analyse. Et moi aussi, en intégrant par parties, je trouve un terme en plus dans le membre droite de l'égalité.