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guessou

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Coercivité d'une forme bilinéaire (sur un espace produit)

Bonsoir à tous,

Dans [tex]H^1(\mathbb{R}) \times H^1(\mathbb{R})[/tex] muni du produit scalaire [tex]<(u_1,v_1),(u_2,v_2)>=<u_1,u_2>_{H^1}+<v_1,v_2>_{H^1}[/tex], on considère la forme bilinéaire [tex]a((u_1,v_1),(u_2,v_2))=<(u_1,v_1),(u_2,v_2)>+\gamma \Big (\displaystyle \int_{\mathbb{R}} u'_1 v'_2 + v'_1u'_2 \Big ) [/tex] où [tex]\gamma \in \mathbb{R}[/tex].
Je cherche à montrer que si [tex]|\gamma | <1[/tex], alors a est coercive.
[tex]a((u,v),(u,v))=\|(u,v)\|_{H^1(\mathbb{R})^2}^2+2 \gamma \displaystyle \int_{\mathbb{R}} u'v'[/tex]. Donc, il s'agit de minorer [tex]2 \gamma \displaystyle \int_{\mathbb{R}} u'v'[/tex]. J'ai essayé de retrancher et ajouter [tex]u'[/tex], des petites techniques comme ça, ça ne m'a rien donné malheureusement.

Auriez vous des idées ?

Bien cordialement.

Fred

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Re : Coercivité d'une forme bilinéaire (sur un espace produit)

Salut,

  As-tu pensé à utiliser la transformée de Fourier-Plancherel??? Tu peux exprimer toutes les intégrales qui viennent en jeu à l'aide d'intégrales faisant intervenir les transformées de Fourier-Plancherel de u et v, et te ramener à un problème algébrique...

Fred.