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guessou

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Domination de la norme L2 par L infini

Bonjour tout le monde,
On peut montrer que la norme [tex]L^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] d'une fonction test [tex]\phi[/tex] définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est majorée par sa norme [tex]H^1(\mathbb{R})[/tex] multiplié par un facteur numérique.
Je voudrai de même montrer que [tex]||\phi||_{L^2(\mathbb{R})} \leq ||\phi||_{L^{\infty}(\mathbb{R})}[/tex], c'est à dire [tex]\phi(x)^2 \ge \displaystyle \int_{\R}\phi ^2(t)dt[/tex] pour presque tout [tex]x[/tex].
Le sup de [tex]\phi[/tex] est atteint sur [tex]\mathbb{R}[/tex] : [tex]||\phi||_{L^{\infty}(\mathbb{R})}=\phi(x_0)[/tex].
En notant [tex]A>0[/tex] un réel tel que le support de [tex]\phi[/tex] est compris dans [tex][-A,A][/tex], je trouve que [tex]\displaystyle \int_{\R}\phi ^2(t)dt \le 2A\phi(x_0)^2[/tex].
Je ne sais pas comment me débarasser du A.

Bien cordialement.

Roro

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Re : Domination de la norme L2 par L infini

Bonjour guessou,

J'ai plus de questions que de réponses à t'apporter, celles-ci t'éclaireront peut-être quand même :
Je suis à peu près convaincu que l'inégalité [tex]\|\phi\|_{L^2(\mathbb R)} \leq \|\phi\|_{L^\infty(\mathbb R)}[/tex] n'est pas toujours vraie (on peut construire des contre-exemples... en pensant à [tex]\phi=1[/tex])
Tu dis aussi que la borne supérieure de [tex]\phi[/tex] est atteinte : qu'est ce qui te permet de le dire ?
Ceci étant dit, les types d'inégalités que tu souhaites démontrer sont souvent basées sur la relation
[tex]u(x) = u(0) + \int_0^x u'(t)\mathrm dt[/tex].

Roro.

Dernière modification par Roro (18-01-2014 18:02:47)

guessou

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Re : Domination de la norme L2 par L infini

[tex]\phi[/tex] est une fonction test sur [tex]\mathbb{R}[/tex]. Donc elle est nulle en dehors d'un compact et continue sur ce même compact. Donc [tex]|\phi|[/tex]  atteint son sup (plus précisément sur ce compact).
Après, c'est vrai que je commence à douter sur l'inégalité portant sur les normes.

guessou

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Re : Domination de la norme L2 par L infini

Mon but est d'affiner l'inégalité [tex]||\phi||_{L^2} \leq ||\phi||_{H^1}[/tex]. Je ne sais pas si c'est possible.
Comme je sais que [tex]||\phi||_{L^\infty} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} ||\phi||_{H^1}[/tex], j'espérais pouvoir minorer [tex]||\phi||_{L^\infty}[/tex] par [tex]||\phi||_{L^2} [/tex].