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guessou

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Inégalité sur H01

Bonsoir tout le monde,

j'essaie de résoudre l'énoncé suivant :
Soit [tex]u \in H_0^1(]0,1[)[/tex]. Montrer que [tex]\frac{u(x)}{x(1-x)} \in L^2(]0,1[)[/tex] et que [tex]||\frac{u(x)}{x(1-x)}||_{L^2} \le c ||u'||_{L^2}[/tex] où c est une constante indépendante de [tex]u[/tex]

Bien sûr, u' désigne la dérivée au sens des distributions (ou au sens faible) de u. On commence par montrer cette inégalité pour une fonction test [tex]\phi[/tex]. J'ai essayé de majorer [tex]\phi(x)[/tex] par [tex]||\phi'||_{L^2}[/tex] mais j'obtiens un majorant infini ( à savoir [tex]\int_0^1 dx/x^2(1-x)^2[/tex]). Pareil si on majore [tex]\phi(x)[/tex] par [tex]||\phi'||_{L^2} \sqrt{x}[/tex]. 
Enfin bref, j'ose espérer que vous pouvez me donner quelques pistes de réflexion.

Bien à vous.