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#1 17-01-2014 18:56:10
- guessou
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Calcul d'une limite.
Bonsoir à tous,
Dans un exercice de proba, on s'intéresse à l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de la loi de Weibull caractérisée par la densité [tex]p(x)=a \lambda ^a x^{a-1}e^{-(\lambda x)^a} 1_{\mathbb{R}^{\star}_{+}}(x)[/tex] avec [tex]a,\lambda >0[/tex].
L'EMV de [tex]\lambda[/tex] à [tex]a[/tex] fixé est [tex]\hat \lambda_n(X) = \Big ( \dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^n X_i^a} \Big )^{1/a}[/tex].
Mais maximiser par rapport à [tex]a[/tex] la log-vraisemblance lorsque [tex]\lambda=\lambda_n[/tex] n'est pas évident.
[tex]\dfrac{\partial l_n}{\partial a}(x,a)=\dfrac{n}{a}-n\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n ln(x_i) x_i^a }{\sum\limits_{i=1}^n x_i ^a }+\sum\limits_{i=1}^n ln(x_i) [/tex].
Impossible d'étudier les variations.
L'exercice demande donc d'étudier les limites de [tex]\dfrac{\partial l_n}{\partial a}(x,a)[/tex] en [tex]a=0^+[/tex] et [tex]a=+\infty[/tex].
Je bloque sur la limite en [tex]a=+\infty[/tex].
Comment montrer que [tex]\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n ln(x_i) x_i^a }{\sum\limits_{i=1}^n x_i ^a } \longrightarrow max_{1\le j \le n }(ln(x_j))[/tex] quand [tex]a \to +\infty[/tex]?
Bien cordialement.
Dernière modification par guessou (17-01-2014 20:20:43)
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#4 17-01-2014 21:59:44
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Calcul d'une limite.
Re,
bon, si tu élimines les valeurs de x positive inférieure à 1, il te reste celles qui sont supérieures à 1. Si tu les classes par valeur croissante, il y en a une qui va dominer toutes les autres ...
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#6 18-01-2014 10:59:03
- freddy
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Re : Calcul d'une limite.
Re,
non, non, ce n'est pas ça, c'est une question de savoir qui, quand a tend vers + l'infini, va l'emporter. Et si deux valeurs sont égales et maximales, on a toujours le même résultat, puisque [tex]\frac{2ln(x*)\times x*^a}{2x*^a}[/tex] ne change pas, non ?
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