Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

je cherche des exercices faisant intervenir la "manipulation d'epsilon ε", comme les exercices sur la définition de limites, sur la topologie de spé, suites, séries etc car j'en ai quasiment pas fait et je voudrais m'entraîner sur ce style d'exercices.

Merci.

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exo suivant :

déterminer les polynôme de R[X] vérifiant :
(E) P(X²+1)=[P(X)]²+1 et P(0)=0 ;

J'ai remarqué que en plus de P(0)=0, on a successivement P(1)=1, P(2)=2,P(5)=5,P(26)=26, ce qui m'amène à conjecturer que P(X)=X.
j'ai montré que le polynômes constants ne conviennent pas et que le seul polynômes de degré 1 qui convient est P(X)=X.

Mais je n'arrive pas à montrer que les polynômes de degré supérieur ou égal à 2 ne conviennent pas.
j'ai essayé par un raisonnement sur le coefficient dominant noté a mais je n'aboutit pas, j'obtiens :
a²=a. ( en remplaçant dans la relation (E)).

Merci d'avance pour vos réponses.

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
a)Soient E et F des e.v réels, B = (e1,e2,e3) une base de E et C=(f1,f2) une base de F. Soit u l'application de E dans F définie par les relations :
u(e1) = f1 + 3f2 ; u(e2)=2f1-f2 ; u(e3)=f1+2f2.
->Déterminer la matrice de u par rapport aux bases B et C. Déterminer une base et un système d'équations cartésiennes linéaires du noyau et de l'image de u.

j'ai déterminé la matrice de u par rapport aux B et C, j'ai ensuite calculé u(e1) = f1+f2, u(e3-e1)=-f2, u(5e1-7e3+e2)=O.

Ainsi la famille (u(e1),u(e3-e1)) est une famille libre de vecteurs de u(E) de cardinal 2 donc rg(u)>= 2.
Or u(E) est inclus dans F et dim(F)=Card(C)=2 d'où rg(u)=2 et la famille ((u(e1),u(e3-e1)) forme une base de l'image de u.
Et d'après le théôrème du rang : dim(Ker(u))= 3-2=1 donc Ker(u)=<u(5e1-7e3+e2)>.
Mais je ne sais pas comment déterminer un système d'équations cartésiennes linéaires du noyau et de l'image de u.

Voilà, merci d'avance pour vos réponses.

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

Soit A l'ensemble des nombres réels x pour lesquels il existe des nombres réels u,v>0 tels que x=u+v et 1<u²+uv+v²<4.

a) Vérifier que A est non vide et borné.
b) Démontrer que inf A=1 et sup A =4/3 [tex]\sqrt{3}[/tex]

J'ai réussi à montrer que A est non vide mais pour les autres questions je ne sais pas comment faire, j'ai tout de même pensé à utiliser le fait que u²+uv+v² = (u+v)²-uv mais je ne sais pas comment.

Voilà, merci d'avances pour vos réponses.

Salut,

j'ai besoin d'aide pour les deux exercices suivants :

1- On munit C de sa structure canonique de plan affine euclidien. Soient a,b,c des points de C distincts.

a)On suppose que le plan C est orienté canoniquement. Vérifier que le triangle abc est équilatéral direct si et seulement si a + bj + c[tex]\bar{j}[/tex] = 0

J'ai commencé par essayer de montrer le premier sens de l'équivalence (abc équilatéral direct => a + bj + c[tex]\bar{j}[/tex] = 0.)

je traduis le fait que abc est équilatéral par |a-c|=|a-b|=|b-c|
et arg((b-c)/(c-a))=arg((c-a)/(b-a))=arg((a-b)/(c-b)) = Pi/3

d'où |(b-c)/(c-a)|=|(c-a)/b-a)|=|(a-b)/(c-b)|= 1

d'où le systême d'équations : (1) (b-c)/(c-a)=1*exp(i*Pi/3)=-[tex]\bar{j}[/tex]

                                           (2) (c-a)/(b-a)=-[tex]\bar{j}[/tex]

                                           (3) (a-b)/(c-b)=-[tex]\bar{j}[/tex]

c'est là que je suis bloqué, j'essaye de me ramener à a + bj + c[tex]\bar{j}[/tex] = 0 mais je m'embrouilles dans les calculs et �a n'aboutit pas.
Pour l'autre sens je ne sais vraiment pas comment m'y prendre, peut-être en partant de a + bj + c[tex]\bar{j}[/tex] = 0 et en essayant de retrouver le système d'équations précédent ?

b) je n'ai pas encore essayé de la faire mais je veux bien quelques indications pour me mettre sur la voie, il s'agit de montrer que abc est équilatéral direct si et seulement si a² + b² + c²=ab+bc+ca

Le deuxième exercice consiste à étudier l'image d'un cercle par l'application z |----> 1/z de C -{0} dans C.

en notant f l'application en question, je remarque que pour un cercle de rayon R centré en 0 on a |z|=R par définition d'où|1/z|=1/R ce qui donnerait un autre cercle de centre 0 et de rayon 1/R, mais je ne sais pas comment généraliser ce résultat à un cercle quelcquonque. (je remarque aussi que l'image du cercle unité par l'application est le cercle unité, peut-être qu'on peut s'en servir ?).

Voilà, désolé  pour la longeur de mon post et  merci d'avance pour vos réponses !

Salut,

je me demande si une suite qui converge vers 0 est à support fini, à priori je dirai que non car une suite peut converger vers 0 sans jamais atteindre 0 mais je ne suis pas sûr.

Merci d'avance pour vos réponses.

Bonjour, j'ai juste une petite question, est-ce que l'existence d'une application bijective entre deux ensemble X et Y est une condition nécessaire et suffisante pour  que ces deux ensembles soient équipotent ou est-ce que c'est seulement une condition suffisante.

je me demande aussi si la relation d'équipotence est transitive, est-ce que si X et Y sont équipotents et Y et Z sont équipotents alors X et Z sont équipotents ?

Voilà, merci d'avance.

Bonjour, j'ai du mal à résoudre l'exercice suivant : montrer que tout nombre complexe peut s'exprimer à l'aide d'une combinaison linéaire à coefficients réels de 1 et de j (j= -1/2 + i*racinede(3)/2).

En fait c'est surtout la rédaction de la réponse qui me pose probleme, j'ai essayé en écrivant :
Soit z un nombre complexe, alors il existe deux réels a et b tels que z = a + ib = a.1 + (ib/j)*j (j'essaye de faire apparaitre une combinaison linéaire  de 1 et de j pour un nombre complexe quelconque pour montrer que celà est possible pour tout nombre complexe, mais je n'arrive pas à montrer que (ib/j) est réel)

peut-être faut-il essayer par identification avec l'expression a+ib= a'*1 + b'*j mais je ne sais pas du tout comment rédiger ça et mon prof est impitoyable sur la rédaction ^^''

Voilà, merci d'avance pour vos réponses.