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#1 20-04-2011 12:08:35
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Matrices et applications linéaires
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
a)Soient E et F des e.v réels, B = (e1,e2,e3) une base de E et C=(f1,f2) une base de F. Soit u l'application de E dans F définie par les relations :
u(e1) = f1 + 3f2 ; u(e2)=2f1-f2 ; u(e3)=f1+2f2.
->Déterminer la matrice de u par rapport aux bases B et C. Déterminer une base et un système d'équations cartésiennes linéaires du noyau et de l'image de u.
j'ai déterminé la matrice de u par rapport aux B et C, j'ai ensuite calculé u(e1) = f1+f2, u(e3-e1)=-f2, u(5e1-7e3+e2)=O.
Ainsi la famille (u(e1),u(e3-e1)) est une famille libre de vecteurs de u(E) de cardinal 2 donc rg(u)>= 2.
Or u(E) est inclus dans F et dim(F)=Card(C)=2 d'où rg(u)=2 et la famille ((u(e1),u(e3-e1)) forme une base de l'image de u.
Et d'après le théôrème du rang : dim(Ker(u))= 3-2=1 donc Ker(u)=<u(5e1-7e3+e2)>.
Mais je ne sais pas comment déterminer un système d'équations cartésiennes linéaires du noyau et de l'image de u.
Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
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#2 20-04-2011 16:21:02
- Fred
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Re : Matrices et applications linéaires
Bonjour,
Pour le noyau c'est très facile, puisque tu as calculé la matrice de l'application linéaire,
tu calcules u(x,y,z) à l'aide de cette matrice. L'équation du noyau est u(x,y,z)=0.
Pour l'image c'est plus compliqué : tu sais que Im(f)=vect(g_1,g_2) avec les deux vecteurs que tu as donnés, et tu dois l'écrire comme sous-espace engendré. Je n'ai pas le temps de te détailler la méthode, mais va à cette page du site :
http://www.bibmath.net/exercices/index. … uoi=alglin
et regarde l'exercice 6 de la feuille consacrée aux sous-espaces vectoriels. Tu devrais trouver ton bonheur....
(remarque : on cherche un système d'équations en utilisant les coordonnées des vecteurs dans les bases données par l'exercice).
Fred.
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#3 22-04-2011 11:43:53
- undefined
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- Messages : 18
Re : Matrices et applications linéaires
Ok Fred j'ai résolu l'équation u(x,y,z)=0 et j'aboutit au système d'équations cartésiennes suivant pour le noyau :
{ x+2y+z=0
{3x-y+2z=0,
pour l'image j'ai essayé de m'inspirer de l'exercice 6 mais je ne suis pas sûr de ma réponse:
j'écris le vecteur a de coordonnées (x,y) dans la base C appartient à Im(u) ssi il existe deux réels x1,x2 tels que:
a= x1u(e1) + x2(u(e3-e1))=x1(f1+3f2)+x2(-f2)=x1f1+(3x1-x2)f2. et j'obtiens donc :
{x=x1
{y=3x1-x2
voilà, thx pour la réponse.
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