Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Ensemble borné

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

Soit A l'ensemble des nombres réels x pour lesquels il existe des nombres réels u,v>0 tels que x=u+v et 1<u²+uv+v²<4.

a) Vérifier que A est non vide et borné.
b) Démontrer que inf A=1 et sup A =4/3 [tex]\sqrt{3}[/tex]

J'ai réussi à montrer que A est non vide mais pour les autres questions je ne sais pas comment faire, j'ai tout de même pensé à utiliser le fait que u²+uv+v² = (u+v)²-uv mais je ne sais pas comment.

Voilà, merci d'avances pour vos réponses.

Fred

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Re : Ensemble borné

Bonjour,

  J'imagine que tu es dans une Math Sup de bon niveau,
car c'est le 2ème exo en une semaine pas facile avec lequel tu viens.

Voici un embryon de méthode géométrique qui devrait donner le résultat :

Tu peux voir dans [tex]u^2+uv+v^2[/tex] le début de l'équation d'une conique, que tu as étudié j'imagine en début d'année.
Tu peux la réduire classiquement, en faisant un changement de repère d'angle [tex]\pi/4[/tex] ici.
Ainsi, tu poses
[tex]u=\frac{\sqrt 2}2X-\frac{\sqrt 2}2Y[/tex] et [tex]v=\frac{\sqrt 2}2X+\frac{\sqrt 2}2Y[/tex].
De sorte que
[tex]u+v=\sqrt 2 X[/tex]
et [tex]u^2+uv+v^2=\frac 32X^2+\frac 12 Y^2[/tex]

Tu cherches donc à trouver la plus grande et la plus petite valeur de [tex]\sqrt 2 X[/tex]
quand on est entre les deux ellipses
[tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=1[/tex] et [tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=4[/tex],
mais en étant dans la partie du plan comprise entre les angles [tex]-\pi/4[/tex] et
[tex]\pi/4[/tex]  (on a tourné le repère, quand même...).

Avec un dessin, tu te convaincras sans peine qu'on atteint le maximum
(la borne sup) quand on est sur l'ellipse [tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=4[/tex]
et que Y=0. On a alors [tex]X=2\sqrt 2/\sqrt 3[/tex] et la borne sup fait [tex]4/\sqrt 3[/tex]
(tiens, ce n'est pas le résultat que tu as donné).
Le minimum (la borne inf), est atteinte sur l'ellipse [tex]\frac 32 X^2+\frac 12 Y^2=1[/tex]
et l'est pour l'angle [tex]\pi/4[/tex]. On a alors X=Y, et
[tex]X=1/\sqrt 2[/tex] soit une borne inf qui fait bien 1.

A te lire (car c'est tout de même assez compliqué...)

Fred.

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Re : Ensemble borné

Ok merci fred pour ta réponse, j'ai compris mais j'avoue que je n'aurai pas pensé à utiliser une méthode géométrique ^^'. Dans les fiches d'exercice de mon prof, il n'y a en effet quasiment que des exercices assez difficile et difficile donc je n'arrive jamais à tous les faire ^^'