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Equation Polynomes

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exo suivant :

déterminer les polynôme de R[X] vérifiant :
(E) P(X²+1)=[P(X)]²+1 et P(0)=0 ;

J'ai remarqué que en plus de P(0)=0, on a successivement P(1)=1, P(2)=2,P(5)=5,P(26)=26, ce qui m'amène à conjecturer que P(X)=X.
j'ai montré que le polynômes constants ne conviennent pas et que le seul polynômes de degré 1 qui convient est P(X)=X.

Mais je n'arrive pas à montrer que les polynômes de degré supérieur ou égal à 2 ne conviennent pas.
j'ai essayé par un raisonnement sur le coefficient dominant noté a mais je n'aboutit pas, j'obtiens :
a²=a. ( en remplaçant dans la relation (E)).

Merci d'avance pour vos réponses.

Groupoid Kid

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Re : Equation Polynomes

Bonsoir à toi,

As-tu entendu parler d'interpolation ? Si oui, alors pose-toi ces questions :
- Combien de polynômes de degré inférieur à 3 vérivient tes 4 égalités P(1)=1 etc ?
- Si tu itères le procédé, combien de polynômes de degré inférieur à n vérifient les n+1 premières conditions analogues ?

GK

EDIT : j'ai oublié la politesse la plus élémentaire !

Dernière modification par Groupoid Kid (13-10-2011 21:09:46)

Fred

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Re : Equation Polynomes

Bonjour undefined,

  Tu es bien partie. Il te manque l'argument essentiel : si un polynôme a un nombre infini de racines, alors c'est le polynôme nul.
Comment as-tu construit 1,2,5,26??? Ce sont les premiers termes de la suite suivante :
[tex]u_0=0\textrm{ et }u_{n+1}=u_n^2+1[/tex]
Par récurrence, et en utilisant la formule, tu prouves que [tex]P(u_n)=u_n[/tex] pour tout entier n.

Or, la suite [tex](u_n)[/tex] est strictement croissante... Et donc le polynôme P(X)-X a une infinité de racines. C'est donc le polynôme nul.

A+
Fred.

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Re : Equation Polynomes

Ok merci pour vos réponses.

pour construire 1,2,5,26 , j'utilise  :

P(0²+1)=(P(0)²)+1=1 d'où P(1)=1
ensuite, P(2)=P(1²+1)=(P(1))² +1 =1+1=2
P(5)=P(2²+1)=(P(2))²+1=5
P(26)=P(5²+1)=(P(5))²+1=26.