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#1 17-01-2011 22:24:11
- undefined
- Membre
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Espaces vectoriels
Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
Dans l'espace vectoriel réel E=R^3, on consiède l'ensemble X des triplets (x1,x2,x3) de nombres réels tels que x1² - 2x1x2 + x3² = 0. La question est : déterminer les sous-espaces vectoriels de E contenus dans X.
intuitivement, je pense que les sous-ev de E sont soit des droites, soit des plans soit l'ensemble réduit à l'élément neutre de E et je pense que l'équation x1² - 2x1x2 + x3² = 0 décrit l'équation d'une figure en 3 dimensions donc les sous ev de E contenus dans X doivent surement être des droites mais je ne vois pas du tout ce que décrit l'équation x1² - 2x1x2 + x3² = 0 (on a quasiment pas fait de géométrie dans l'espace en lycée et collège).
Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
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#2 17-01-2011 22:50:10
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Espaces vectoriels
Bonsoir,
Une équation dans [tex]\mathbb R^3[/tex] faisant intervenir des termes du second degré est l'équation d'une
quadrique.
L'équation particulière que tu donnes est celle d'un cône.
Pour résoudre ton exercice, voici une méthode. On peut encore écrire X comme
[tex](x_1-x_2)^2-x_2^2+x_3^3=0[/tex]
Clairement, X contient :
1. {0}
2. Des droites vectorielles. En effet, si (a,b,c) est n'importe quel point de X, alors (ta,tb,tc) est encore un point de X. Donc X contient toutes les droites vectorielles engendrées par un point de X.
On va maintenant montrer que X ne contient pas de plan. Supposons par l'absurde qu'il en contienne un, notons le P. Notons aussi Q le plan d'équation [tex]x_2=0[/tex]. Alors, par des considérations de dimension, P et Q se coupent en un espace vectoriel de dimension >=1. En particulier, il existe un vecteur (a,0,c) dans [tex]P\cap Q[/tex] avec a et c qui ne sont pas tous les deux nuls.
Maintenant, ils doivent vérifier l'équation de X, donc
[tex](a-0)^2-0^2+c^2=a^2+c^2=0.[/tex]
C'est impossible, puisque a et c ne sont pas tous les deux nuls.
Fred.
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#3 18-01-2011 00:31:08
- undefined
- Membre
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- Messages : 18
Re : Espaces vectoriels
Ok merci pour ta réponse fred même si je ne comprend pas ta démonstration du fait que X ne contienne pas de plan car nous n'avons pas encore étudié la notion de dimension d'un espace vectoriel (on en est qu'au tout début du cours ^^' ).
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#4 18-01-2011 11:35:38
- Fred
- Administrateur
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Re : Espaces vectoriels
Ah, en plus....
Disons que tu peux en avoir une démonstration visuelle. Deux plans de l'espace qui passent par l'origine (ce sont des espaces vectoriels) sont ou bien confondus, ou se coupent selon une droite.
Je suis très intéressé par la correction de ton prof.
Fred.
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#5 18-01-2011 12:55:23
Re : Espaces vectoriels
Salut,
@Fred : je crois avoir vu deux fautes de frappe :
[tex](x_1-x_2)^2-x_2^2+x_3^3=0[/tex]
Ce ne serait pas plutôt [tex](x_1-x_2)^2-x_2^2+x_3^2=0[/tex] ?
Alors, par des considérations de dimension, P et Q se coupent en un espace vectoriel de dimension >=1.
Ne veux-tu pas dire plutôt <= 1 ?
Bis spät.
Hadrien
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#6 18-01-2011 15:15:04
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Espaces vectoriels
Salut,
@Fred : je crois avoir vu deux fautes de frappe :
Fred a écrit :[tex](x_1-x_2)^2-x_2^2+x_3^3=0[/tex]
Ce ne serait pas plutôt [tex](x_1-x_2)^2-x_2^2+x_3^2=0[/tex] ?
Ah oui, bien sûr!
Fred a écrit :Alors, par des considérations de dimension, P et Q se coupent en un espace vectoriel de dimension >=1.
Ne veux-tu pas dire plutôt <= 1 ?
En revanche là c'est correct. Ce que je veux dire c'est que l'intersection de deux plans de R^3
n'est jamais réduit à {0}. Eventuellement, cela peut encore être un plan (si les deux plans sont confondus).
Fred.
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#9 18-01-2011 21:08:07
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Espaces vectoriels
Ce "autant pour moi" m'a valu une de mes plus grandes hontes avec un de mes étudiants.
Je pensais que cela s'écrivait comme Hadrien l'a écrit, il l'avait écrit comme Freddy, j'ai voulu le corriger,
je me suis fait renvoyé dans les cordes comme un petit garçon....
Bon, mais personne ne propose de solutions sans la notion de dimension, comme pour un début de cours sur les espaces vectoriels...
Fred.
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#10 18-01-2011 21:41:57
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Espaces vectoriels
Bonsoir:
Quel homme que Fred!
Tout le monde se met dans ces situations mais tous ne sont pas capables de le reconnaître comme ça !
Voici une autre façon de voir cette question:
On remarque que si [tex]x=(a,b,c) \in X [/tex] alors si la deuxième composante de [tex]x [/tex] et nulle , alors toutes les trois sont nulles.
Se basant sur ça , On est ramené à prouver que tout plan vectoriél de [tex]{\mathbb R}^3[/tex] ne possède pas cette propriété.
Soit [tex]P [/tex] un plan d'équatin [tex] ux+vy+wz=0[/tex] avec [tex] (u,v,w) \neq (0,0,0)[/tex].
si [tex] w \neq 0[/tex] alors [tex]\left(1,0,-\frac uw \right) \in P[/tex]
si [tex] w = 0[/tex] alors [tex]\left(0,0,1) \in P [/tex]
Dans chaque cas on a la deuxiéme composante du triplet est nulle mais les trois ne sont pas toutes nulles.
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (18-01-2011 22:24:55)
#11 18-01-2011 22:09:58
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Espaces vectoriels
Bonsoir:
Quel homme que Fred!
Ouh là!
Voici une autre façon de voir cette question:
On remarque que si [tex]x=(a,b,c) \in X [/tex] alors si l'une des deux premiéres composantes de [tex]x [/tex] et nulle , alors toutes les trois sont nulles.
Se basant sur ça , On est ramené à prouver que tout plan vectoriél de [tex]{\mathbb R}^3[/tex] ne possède pas cette propriété.
Soit [tex]P [/tex] un plan d'équatin [tex] ux+vy+wz=0[/tex] avec [tex] (u,v,w) \neq (0,0,0)[/tex].
Si [tex]u \neq 0 [/tex] alors :
si [tex] w \neq 0[/tex] alors [tex]\left(1,0,-\frac uw \right) \in P[/tex]
si [tex] w = 0[/tex] alors [tex]\left(0,0,1) \in P [/tex]
Si [tex]u=0[/tex] alors [tex](1,0,0) \in P[/tex]Dans chaque cas on a ou la première ou la deuxiéme composante du triplet est nulle mais les trois ne sont pas toutes nulles.
Je ne vois pas trop pourquoi si x1 est nul, alors il en est de même de x2 et de x3, mais on peut effectivement conclure avec ton idée.
Si tu prends un plan P, il contient deux vecteurs u=(a,b,c) et v=(a',b',c') non colinéaires.
Alors P contient nécessairement un vecteur de la forme (e,0,f) avec e et f non simultanément nuls.
Si b=0 ou b'=0, c'est clair.
Sinon, tu formes le vecteur b' u- bv dont la deuxième coordonnée est nulle, mais qui n'est pas le vecteur nul
puisque les deux vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
Maintenant, un vecteur (e,0,f) ne peut pas être élément de X, à part si e=f=0.
Fred.
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#12 18-01-2011 22:20:09
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Espaces vectoriels
Bonsoir
Oui Fred !
j'avais écrit en hâte car je suis dehors ....
j'avais modifié plusieurs fois ce message, en vain!!
Je te prie Fred de réviser ma dernière réponse !!!
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (18-01-2011 22:23:27)
#14 18-01-2011 23:50:38
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Espaces vectoriels
Ce "autant pour moi" m'a valu une de mes plus grandes hontes avec un de mes étudiants.
Je pensais que cela s'écrivait comme Hadrien l'a écrit, il l'avait écrit comme Freddy, j'ai voulu le corriger,
je me suis fait renvoyé dans les cordes comme un petit garçon....
Rassure toi, Fred, nous ne sommes pas omniscients. J'en ai pris au moins (plus d')une aussi, je pense qu'il faut accepter de ne pas tout savoir.
Une faute courante chez les matheux : quelque soit contre quel que soit. Regarde bien, nombreux sont ceux qui la font, par exemple : quelque soit x, alors que c'est : quel que soit x. Encore plus amusant quand ça s'accorde aux féminins pluriels ...
Je me suis fait "ramasser", je devais avoir ton âge, et je te prie de croire que j'ai toujours la marrque de la honte que j'ai éprouvée !
Bon courage !
Hors ligne
#15 20-01-2011 00:40:32
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Espaces vectoriels
Bonsoir,
Une autre maniére de faire évitant l'utilisation d'équation de plan et de considérer un plan [tex] P [/tex]engendré par deux vecteurs [tex] u=(a,b,c) [/tex] et [tex]v=(m,n,p) [/tex] et de remarquer que le vecteur [tex]w=nu-bv [/tex] est non nul et de deuxième composante nulle.
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