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Eléments d'un groupe

Bonjour, j'ai une question au sujet de  l'exercice suivant,

e est l'élément neutre d'un groupe A dont la loi est notée multiplicativement.
je dois montrer que les éléments e,a,a^2,a^3 et a^4 sont deux à deux distincts sachant que  a est différent de e et que a^5=e.

en partant de a <> e, j'obtiens successivement en composant par a : a^2 <>  a , a^3 <> a^2, a^4 <> a^3 et a^4 <> e.

ensuite j'écrit a^5=a^4*a=e donc a^4=a^-1 et à ce moment là j'ai envie de dire que puisque a <> e alors a^-1 <> a d'où a^4 <> a et la suite de l'exercice se fait facilement si on applique ce raisonnement.

Mais est-ce que a <> e implique a <> a^-1. En d'autre termes, est-ce que l'élement neutre d'un groupe et le seul élement égal à son inverse ?

(dsl je n'ai pas réussi à insérer le symbole "différent de", c'est pourquoi j'ai utilisé <> à la place)

Voilà, merci d'avance.

thadrien

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Re : Eléments d'un groupe

Salut,

* "Mais est-ce que a <> e implique a <> a^-1 ?" => Réponse : non.

Contre exemple 1 et -1 dans le groupe R privé de 0, muni de la multiplication.

* Indication pour ton problème : 5 est premier.

1) Soit i le plus petit entier naturel NON NUL tel que a^i = e. Soient q et r respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 5 par i. Alors, e = a^5 = a^(q i+r) = a^(q i) a^r = (a^q)^i a^r = e^i a^r = e a^r = a^r. Donc a^r = e. Comme i est le plus petit entier naturel non nul tel que a^r = e, alors, r = 0. Donc i divise 5.

2) Comme 5 est premier, i = 1 ou 5. Je te laisse montrer qu'il n'est pas égal à 1 et qu'il est égal à 5. Conséquence : a,a^2,a^3 et a^4 sont différents de l'élément neutre.

3) Supposons que a^i soit égal à a^j, avec 0<=i<j<=5. Alors, a^(j-i) = e, et 0 < j-i <= 5. Alors, tu as contradiction avec le résultat montré en 2. Donc, tous les éléments sont différents 2 à 2.

A+

MOHAMED_AIT_LH

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Re : Eléments d'un groupe

Bonsoir;

Les  indications  données par  thardien sont  bien expliquées  et  largement  suffisantes.
Sous un  autre  angle, on  peut  considérer l'application :

[tex]\begin{array}{ccrcl}  f&:&{\mathbb Z}&\to&A \\&&k&\mapsto&a^k   \end{array}[/tex]

C'est un morphisme  du  groupe  [tex]({\mathbb Z},+)[/tex]  vers  le groupe [tex](A,.)[/tex] donc  son  noyau   [tex]\ker f[/tex]   est  un  sous-groupe  de  [tex]({\mathbb Z},+ )[/tex]  Donc  il  existe  un  nombre  entier  natuel   [tex]p[/tex]  tel  que  [tex]\ker f = p {\mathbb Z}[/tex]. Comme   [tex]a^5=e[/tex] alors  [tex]5 \in ker f[/tex]  donc  [tex]p|5[/tex]  donc  [tex]p=1[/tex] ou [tex]p=5[/tex]
Si   [tex]p=1[/tex] alors    [tex]a=e[/tex] , donc  [tex]p=5[/tex] donc   [tex]\ker f = 5 {\mathbb Z}[/tex]
Ensuite , on  utilise  le premier  théorème  de l'isomorphisme (si  c'est  vu)  selon  lequel   [tex]\text{Im } f  \simeq  {\mathbb Z} / \ker f ={\mathbb Z} / 5 {\mathbb Z}[/tex] Or  [tex]\text{Im}  f[/tex] n'est  autre  que  le  groupe  cyclique  engendré par [tex]a[/tex]. Puisqu'il  est  d'ordre  cinq, il  contient  exactement [tex]5[/tex] éléments à  savoir    [tex]e,a,a^2,a^3,a^4[/tex].En  particulier  ces élèments sont  deux  à  deux  distincts.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Eléments d'un groupe

Bonsoir;

Les  indications  données par  thardien sont  bien expliquées  et  largement  suffisantes.
Sous un  autre  angle, on  peut  considérer l'application :

[tex]\begin{array}{ccrcl}  f&:&{\mathbb Z}&\to&A \\&&k&\mapsto&a^k   \end{array}[/tex]

C'est un morphisme  du  groupe  [tex]({\mathbb Z},+)[/tex]  vers  le groupe [tex](A,.)[/tex] donc  son  noyau   [tex]\ker f[/tex]   est  un  sous-groupe  de  [tex]({\mathbb Z},+ )[/tex]  Donc  il  existe  un  nombre  entier  natuel   [tex]p[/tex]  tel  que  [tex]\ker f = p {\mathbb Z}[/tex]. Comme   [tex]a^5=e[/tex] alors  [tex]5 \in ker f[/tex]  donc  [tex]p|5[/tex]  donc  [tex]p=1[/tex] ou [tex]p=5[/tex]
Si   [tex]p=1[/tex] alors    [tex]a=e[/tex] , donc  [tex]p=5[/tex] donc   [tex]\ker f = 5 {\mathbb Z}[/tex]
Ensuite , on  utilise  le premier  théorème  de l'isomorphisme (si  c'est  vu)  selon  lequel   [tex]\text{Im } f  \simeq  {\mathbb Z} / \ker f ={\mathbb Z} / 5 {\mathbb Z}[/tex] Or  [tex]\text{Im}  f[/tex] n'est  autre  que  le  groupe  cyclique  engendré par [tex]a[/tex]. Puisqu'il  est  d'ordre  cinq, il  contient  exactement [tex]5[/tex] éléments à  savoir    [tex]e,a,a^2,a^3,a^4[/tex].En  particulier  ces élèments sont  deux  à  deux  distincts.

freddy

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Re : Eléments d'un groupe

Bonjour, j'ai une question au sujet de  l'exercice suivant,

e est l'élément neutre d'un groupe A dont la loi est notée multiplicativement.
je dois montrer que les éléments [tex]e,\,a,\,a^2,\,a^3\,\text{et} a^4[/tex] sont deux à deux distincts sachant que  a est différent de e et que [tex]a^5=e[/tex]

Salut,
je vais faire mon "nerosson" : Houlà, face à de si brillants cerveaux, j'éprouve le même sentiment que Titi face à Grosso Minetto .... hihihi.

Question : pourquoi les Chinois ont ils gagné la guerre contre les Mongols ? Car ils avaient la ruse ... C'est quoi la ruse ? Va voir plus bas !

J'explique en redescendant sur terre.

Manifestement, on a [tex]a.a^4=a^2.a^3=e[/tex]. On a donc les symétriques (uniques) des 4 termes consécutifs de A :

[tex]a,\,a^2=a.a,\,a^3=a^2.a,\,a^4=a^3.a[/tex].

Supposons que [tex]a^2=a[/tex]. Donc

[tex]a^2.a^3=e=a.a^3 \Rightarrow a^{-1}=a^3\;\text{et}\,a^{-1}=a^4 \Rightarrow a^3=a^4\, \text{par unicité du symétrique}\,\Rightarrow a^4.a^{-1}=e=a^3[/tex]

[tex]\Rightarrow a^4=e \; \text{et}\;a^5=a^4.a=e\, \Rightarrow a=e[/tex]

ce qui est impossible par définition.

Cher ami, choisis la démarche qui te va le mieux !

C'est quoi la ruse ? Les Mongols avaient réussi à capturer un petit Chinois. Ils lui dirent : "si tu nous expliques ce qu'est la ruse, tu auras la vie sauve".

Le chinois posa sa tête sur un billot et dit au mongol : "Tranche ma tête" ! Au moment où la hache allait s'abattre sur le cou du Chinois, ce dernier l'enleva et dit au Mongol, tout surpris qu'il ne se laisse point faire : "Voilà la ruse ... . Tu as compris ?"

Le Mongol, tout heureux, courut voir son chef et lui dit : "Chef, chef, je sais pourquoi les Chinois nous battent toujours, c'est parce qu'ils ont la ruse". Et le chef de dire :"Mais c'est quoi la ruse ?"

Alors le Mongol de répondre : "Chef, je vais te montrer : pose ta tête sur le billot ! ..."

Dernière modification par freddy (27-12-2010 20:54:41)

freddy

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Re : Eléments d'un groupe

Bonsoir;

Les  indications  données par  thardien sont  bien expliquées  et  largement  suffisantes.
Sous un  autre  angle, on  peut  considérer l'application :

[tex]\begin{array}{ccrcl}  f&:&{\mathbb Z}&\to&A \\&&k&\mapsto&a^k   \end{array}[/tex]

C'est un morphisme  du  groupe  [tex]({\mathbb Z},+)[/tex]  vers  le groupe [tex](A,.)[/tex] donc  son  noyau   [tex]\ker f[/tex]   est  un  sous-groupe  de  [tex]({\mathbb Z},+ )[/tex]  Donc  il  existe  un  nombre  entier  natuel   [tex]p[/tex]  tel  que  [tex]\ker f = p {\mathbb Z}[/tex]. Comme   [tex]a^5=e[/tex] alors  [tex]5 \in ker f[/tex]  donc  [tex]p|5[/tex]  donc  [tex]p=1[/tex] ou [tex]p=5[/tex]
Si   [tex]p=1[/tex] alors    [tex]a=e[/tex] , donc  [tex]p=5[/tex] donc   [tex]\ker f = 5 {\mathbb Z}[/tex]
Ensuite , on  utilise  le premier  théorème  de l'isomorphisme (si  c'est  vu)  selon  lequel   [tex]\text{Im } f  \simeq  {\mathbb Z} / \ker f ={\mathbb Z} / 5 {\mathbb Z}[/tex] Or  [tex]\text{Im}  f[/tex] n'est  autre  que  le  groupe  cyclique  engendré par [tex]a[/tex]. Puisqu'il  est  d'ordre  cinq, il  contient  exactement [tex]5[/tex] éléments à  savoir    [tex]e,a,a^2,a^3,a^4[/tex].En  particulier  ces élèments sont  deux  à  deux  distincts.

Salut Mohamed,

J'aime bien cette approche, mais je ne suis pas sûr que notre ami ait indiqué que son groupe A ne contenait que 5 élements.

Si j'ai bien compris, il voulait simplement savoir comment démontrer que les 5 élements cités étaient deux à deux distincts, compte tenu des hypothèses. D'où ma suggestion.

Au plaisir de te lire bientôt,

Freddy, l'empêcheur de tourner en rond.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Eléments d'un groupe

Bonsoir,

Bonsoir  Freddy !

Même  si  le  groupe  [tex]A[/tex]    est  infini  le premier  thm  de  l'isomorphisme  dit  [tex]{\mathbb Z}/\ker f[/tex]    isomorphe  à   [tex]\text{Im } f[/tex]      et  non  pas [tex]A[/tex]

Ici  [tex]\text{Im} f[/tex]   est  exactement  le  sous  groupe  de [tex]A[/tex]   engendré  par  [tex]a[/tex]

Pour  la  différence  deux  à  deux  des [tex]a^k[/tex]   ,  tu  as bien  fait  de  l'évoquer  et  c'est  un  résultat  à  connaitre :

Si  [tex]G[/tex]   est  un  groupe  cyclique d'ordre [tex]p \in {\mathbb N}^*[/tex]  engendré  par  un  élément  [tex]g[/tex]    alors il  continet [tex]p[/tex]   éléments  qui  sont  exactemet   [tex]g^k[/tex]    avec  [tex]k=0,1,...,p-1[/tex]
La  preuve  se  fait  comme  suit :
Si  [tex]g^i=g^j[/tex] avec  [tex]0  \leq i \leq j  \leq  p-1[/tex]   alors     [tex]g^{j-i}=e[/tex]  et   comme    [tex]0  \leq  j-i < p[/tex]   et   que       [tex]p[/tex]   est   l'ordre  de     [tex]g[/tex],   on  a   forcément     [tex]j-i=0[/tex]  donc    [tex]j=i[/tex]
Ceci  prouve  que  les    [tex]g^k[/tex]  pour [tex]0 \leq  k  \leq  p-1[/tex]  sont  distincts  deux  à   deux.  Réciproquement,   un  élément   [tex]x[/tex]  du  groupe  cyclique   engendré  par   [tex]g[/tex] s'écrit :  [tex]x=g^i[/tex]  avec    [tex]i  \in {\mathbb Z}[/tex]. La  division  euclidienne  de  [tex]i[/tex]   par    [tex]p[/tex]  donne  : [tex]x=p^r[/tex]  où [tex]r[/tex]  est   le  reste  dans  cette  division  euclidienne.

     

Merci  pour  ton   intervention!

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (28-12-2010 21:54:22)