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Bonjour, j’ai un petit problème sur l’exercice suivant:
[tex] \text{On considère E un K-ev de dimension n, }\ B=(e_{1},...,e_{n})\text{ une base de E}
\\
\text{et H un hyperplan de E.}
\\
\text{On pose ainsi } B_{H}= (u_{1},...,u_{n-1})\text{ une base de H}.
\\
\text{Déterminer une équation cartésienne de H dans la base B}
[/tex]
J’ai commencé par montrer que:
[tex] x\in H\Leftrightarrow \ det_{B}(u_{1},...,u_{n-1},x)=0 \text{ qui découle du fait que}
\\
x\in H= Vect[u_{1},...,u_{n-1}]
\\
\Leftrightarrow\ (u_{1},...,u_{n-1},x)\text{ est liée}
\\
\text{J'ai ensuite posé } P= P_{B,B_{H_{x}}} \text{la matrice de la famille } (u_{1},...,u_{n-1},x)
\\
\text{dans la base B . }[/tex]
J’ai développée ensuite le déterminant de P suivant la colonne n (colonne de x) cela me permet d’établir que:
[tex] x\in H\Leftrightarrow \ det_{B}(u_{1},...,u_{n-1},x)=0
\\
\Leftrightarrow det(P)=0
\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} p_{i,n} \times (-1)^{i+n}\times \triangle_{i,n}(P)=0
\\
\text{où } p_{i,j}\text{ désigne le terme (i,j) de la matrice P}
\\
\triangle_{i,j}\text{ désigne le déterminant de la matrice obtenue en}
\\
\text{supprimant la ligne i et la colonne j de P}
[/tex]
La somme obtenue est-elle bien ce qui est demandé?

Bonjour, je bloque depuis un bon moment sur un exercice de matrices en dimension finie. Le voici: on considère [tex] E=\left\{f:x\rightarrow P(x)e^{x}/ P\in\operatorname{K}_{n}[X]\right\}[/tex], on note B la base naturelle de E. Calculer la matrice de la dérivation dans la base B et étudier son inversibilité. Il y a deux choses que je ne comprends pas. Qu’entend-on par base naturelle? (le mot naturelle entend-il que nous devrons faire intervenir la base canonique de Kn[X] pour la résolution de l’exercice? Bref… ce n’est pas très clair dans mon esprit…). De plus, que signifie une matrice de dérivation…? Pourriez-vous me guider s’il-vous-plaît?

Bonjour,
Je bloque sur l’exercice suivant. On considère u un endomorphisme de E, E un K-ev, tel que rg(u)= 1 i.e dim(Im(u)) = 1. L’exercice consiste à montrer dans un premier temps qu’il existe un unique scalaire [tex]\lambda[/tex] tel que [tex]\ u^{2}= \lambda u[/tex] avant de montrer que si [tex]a\in\operatorname{K}^{*}\backslash \left\{ \lambda \right\}[/tex]alors [tex] u - a\operatorname{Id}_{E}\in\operatorname{GL(E)} [/tex]. J’ai réussi la première partie mais je bloque pour montrer que l’application précédente est un automorphisme de E. auriez-vous une idée ?

Bonjour,
Auriez-vous une idée pour trouver l’équivalent en +oo de la fonction
F(x) = ln ((1+ exp(1/x))/2) - (4x + 1 / 8x**2)
J’ai tenté d’exprimer les DL des différentes composantes de F, en écrivant
F(x) = ln (1 + exp(1/x)) - ln(2) - (4x + 1 / 8x**2)
       = ln (1 + (exp(1/x) - 1)/2) -  (4 + ( 1/ x) / 8x)
On pose u = 1/x qui tend vers 0 en  +oo
De même (exp(u)  -  1) / 2) tend vers 0 en 0 donc on peut composer avec le DL d’ordre 0 du ln
A la fin je ne trouve pas le Développement asymptotique qu’il me faut pour conclure. Auriez - vous une idée?

Bonjour,
Auriez-vous une idée pour résoudre l’exercice suivant ?
Soit F une fraction rationnelle de C(X) et G1, G2, … , Gn , n fractions rationnelles de C(X) tel que:
F^n+1 + F^n G1 + … + F Gn-1 + Gn = 0 , n > 1
Montrer que l’ensemble des pôles de F est inclu dans la réunion des ensembles des poles de G1, …, Gn.