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William04

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Matrice de dérivation

Bonjour, je bloque depuis un bon moment sur un exercice de matrices en dimension finie. Le voici: on considère [tex] E=\left\{f:x\rightarrow P(x)e^{x}/ P\in\operatorname{K}_{n}[X]\right\}[/tex], on note B la base naturelle de E. Calculer la matrice de la dérivation dans la base B et étudier son inversibilité. Il y a deux choses que je ne comprends pas. Qu’entend-on par base naturelle? (le mot naturelle entend-il que nous devrons faire intervenir la base canonique de Kn[X] pour la résolution de l’exercice? Bref… ce n’est pas très clair dans mon esprit…). De plus, que signifie une matrice de dérivation…? Pourriez-vous me guider s’il-vous-plaît?

Dernière modification par William04 (29-04-2023 18:24:04)

Glozi

Invité

Re : Matrice de dérivation

Bonjour,

J'imagine que $K$ est un sous corps de $\mathbb{C}$, et que ta variable $x$ vit dans l'ensemble des réels.
Sinon je suis d'accord, la notion de base naturelle est un peu étrange ici. Je pense qu'il s'agit de la famille $(e_0,\dots,e_n)$ avec $e_k : x\mapsto x^ke^x$. (vérifier que c'est bien une base de $E$).
Ensuite la "matrice de la dérivation", signifie la matrice de l'opérateur linéaire "dérivation". Plus précisément, notons $D : \mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \to \mathcal{C}^0(\mathbb{R}), f \mapsto f'$. Vérifier que $D$ induit un endomorphisme linéaire de $E$ noté $D_E$. Maintenant il s'agit de calculer la matrice de cet opérateur linéaire dans la base de $E$ précédemment décrite.

Bonne journée

William04

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Re : Matrice de dérivation

Merci pour vos explications. Je vous avoue que c’est plus clair maintenant. Bonne soirée et merci encore!