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William04

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Montrer que u + v est nilpotent

Bonjour,
Je suis bloqué à un exercice qui me paraissait pourtant simple, le voici: soit E un K-ev,  si u et v sont deux endomorphismes de E nilpotents qui commutent, montrer alors que u+v est nilpotent. Auriez-vous une idée ?

Michel Coste

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Re : Montrer que u + v est nilpotent

Bonjour,
Tu as donc dans les hypothèses : il existe [tex]p\in \mathbb N[/tex] tel que [tex]u^p=0[/tex] et il existe  [tex]q\in \mathbb N[/tex] tel que [tex]v^q=0[/tex].
Tu dois montrer qu'il existe [tex]r\in \mathbb N[/tex] tel que [tex](u+v)^r=0[/tex].
Et bien sûr il ne faut pas oublier l'hypothèse que [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] commutent, ce qui t'autorise à employer la formule du binôme.

William04

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Re : Montrer que u + v est nilpotent

C’est ce que j’ai tenté. Intuitivement, je me suis dit que on pourrait calculer (u+v)^r avec r=max(p,q). J’ai pris q>p, donc r =q et j’ai écrit:

[tex] \sum_{k= 0}^{r}\binom{r}{k}u^{k} \circ v^{r-k} = \sum_{k=0}^{p} \binom{r}{k}u^{k}  \circ v^{r-k} + \sum_{k=p+1}^{r} \binom{r}{k}u^{k}\circ v^{r-k}[/tex]
[tex]= = \sum_{k=0}^{p} \binom{r}{k}u^{k}  \circ v^{r-k}[/tex]

Car la derniere somme s’annule car u^k = 0 pour k>p.
Mais je n’arrive pas à simplifier la deuxième somme donc je ne sais pas si mon raisonnement est bon.

Dernière modification par William04 (14-04-2023 14:43:36)

Michel Coste

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Re : Montrer que u + v est nilpotent

Et si tu augmentais [tex]r[/tex] ?

William04

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Re : Montrer que u + v est nilpotent

Ok. J’ai tenté ça,
[tex] Pour\ r =max(p,q) +min (p,q)\\ En \ prenant \ q>p \ on \ écrit\  (u+v)^{r}= \sum_{k=0}^{r}\binom{r}{k}u^{k}\circ v^{r-k}
\\
= \sum_{k=0}^{p}\binom{r}{k}u^{k}\circ v^{r-k} + \sum_{k=p+1}^{r}\binom{r}{k}u^{k}\circ v^{r-k}
\\\text{Or pour k} \in\left[ 0,p \right], r-k>max(p,q)=q
\\\text{donc} \ v^{r-k} = 0
\\ donc  \sum_{k=0}^{p}\binom{r}{k}u^{k}\circ v^{r-k} = 0 [/tex]?

Le raisonnement est bon ?

Michel Coste

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Re : Montrer que u + v est nilpotent

Là tu t'es un peu compliqué la vie. Tu aurais pu remarquer que [tex]\max(p,q)+\min(p,q)[/tex], c'est tout simplement [tex]p+q[/tex]. Et on peut faire plus économique : si [tex]k+\ell=p+q-1[/tex], alors [tex]k\geq p[/tex] ou [tex]\ell\geq q[/tex], et donc [tex]u^kv^\ell=0[/tex].