Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 04-06-2023 16:24:08
- William04
- Membre
- Inscription : 04-03-2023
- Messages : 19
Base orthogonale
Bonjour, je bloque sur un exercice sur les espaces préhilbertiens réels. Le voici: on considère E = [tex] R_n[X][/tex] muni du produit scalaire [tex] (P|Q)=\int_{0}^{1} P(t)Q(t)dt[/tex], et pour k allant de 0 à n on définit [tex] P_{k}=X^{k}\times (1-X)^{k}[/tex] et [tex] L_{k}=P_k^{(k)}[/tex]. Il faut montrer que [tex] (L_0, ..., L_n)[/tex] est une base orthogonale mais je ne sais pas où commencer. J’avais pensé à donner une expression générale de [tex]L_{k}[/tex] et de prendre i ≠ j dans l’intervalle 0 à n puis de montrer [tex](L_i|L_j)=0[/tex] mais je m’en sors pas. Pourriez-vous m’aider?
Hors ligne
#3 04-06-2023 19:38:57
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base orthogonale
Bonsoir,
Une intégration par parties à répétition me paraît plus indiquée.
Hors ligne
#5 05-06-2023 16:00:06
- William04
- Membre
- Inscription : 04-03-2023
- Messages : 19
Re : Base orthogonale
Bonsoir,
Une intégration par parties à répétition me paraît plus indiquée.
Bonjour, merci pour votre retour mais je ne vois pas vraiment comment procéder… où dois-je commencer l’intégration?
Hors ligne
#6 05-06-2023 17:01:41
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base orthogonale
Tu cherches à montrer que si [tex]i<j[/tex] alors $$\int_0^1 L_i(t)\,L_j(t)\,dt = \int_0^1 P_i^{(i)}(t)\,P_j^{(j)}(t)\,dt=0\;.$$
Vraiment tu ne vois pas du tout comment faire intervenir l'intégration par parties pour cette intégrale d'un produit de fonctions ? Tu ne vois pas quelque chose qui ressemble à $\int_0^1u(t)\,v'(t)\,dt$ ?
Par ailleurs, j'ai parlé d'IPP à répétition.
Dernière modification par Michel Coste (05-06-2023 17:03:16)
Hors ligne
#7 05-06-2023 17:32:34
- LCTD
- Membre
- Inscription : 21-11-2019
- Messages : 101
Re : Base orthogonale
Non je pense au binôme de newton,
$(1-x)^n= \sum_{k=0}^{n} \binom n k 1^{n-k}\,(-x)^k$
pour transformer l'ensemble en une somme de puissance de X.
Mais la méthode proposé par M Michel Coste est sans doute meilleure en dérivant toujours Pi et en intégrant toujours Pj .
Hors ligne
#8 06-06-2023 15:47:13
- William04
- Membre
- Inscription : 04-03-2023
- Messages : 19
Re : Base orthogonale
Tu cherches à montrer que si [tex]i<j[/tex] alors $$\int_0^1 L_i(t)\,L_j(t)\,dt = \int_0^1 P_i^{(i)}(t)\,P_j^{(j)}(t)\,dt=0\;.$$
Vraiment tu ne vois pas du tout comment faire intervenir l'intégration par parties pour cette intégrale d'un produit de fonctions ? Tu ne vois pas quelque chose qui ressemble à $\int_0^1u(t)\,v'(t)\,dt$ ?
Par ailleurs, j'ai parlé d'IPP à répétition.
Bonjour, non c’est bon. J’ai vu qu’en faisant une IPP répétitives on pouvait augmenter l’exposant d’un polynôme et diminuer l’autre, et en utilisant la multiplicité des racines 0 et 1 on se ramène à la fin à un produit scalaire nul. Merci beaucoup pour votre guidage. Bonne soirée.
Dernière modification par William04 (06-06-2023 16:42:50)
Hors ligne
#9 06-06-2023 16:54:06
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Base orthogonale
" augmenter l’exposant d’un polynôme et diminuer l’autre"
Hum, l'ordre de dérivation plutôt que l'exposant.
Hors ligne
Pages : 1