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William04

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Équivalent en + oo avec un DL

Bonjour,
Auriez-vous une idée pour trouver l’équivalent en +oo de la fonction
F(x) = ln ((1+ exp(1/x))/2) - (4x + 1 / 8x**2)
J’ai tenté d’exprimer les DL des différentes composantes de F, en écrivant
F(x) = ln (1 + exp(1/x)) - ln(2) - (4x + 1 / 8x**2)
       = ln (1 + (exp(1/x) - 1)/2) -  (4 + ( 1/ x) / 8x)
On pose u = 1/x qui tend vers 0 en  +oo
De même (exp(u)  -  1) / 2) tend vers 0 en 0 donc on peut composer avec le DL d’ordre 0 du ln
A la fin je ne trouve pas le Développement asymptotique qu’il me faut pour conclure. Auriez - vous une idée?

Roro

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Re : Équivalent en + oo avec un DL

Bonsoir,

C'est une bonne idée de poser $u=1/x$. Tu peux le faire dès le début.

Tu as donc à étudier la fonction $\displaystyle g(u)=\ln\Big(\frac{1+\mathrm e^u}{2}\Big) - \frac{4}{u} - \frac{1}{8}u^2$ au voisinage de $0$ (est ce bien ça ? car ton écriture, en particulier sur le dernier terme, n'est pas très claire).

Pourquoi est ce que tu bloques ensuite ? Composer les développements de $\ln(1+y)$ et de $\mathrm{e}^u$ me parait une bonne idée...

Roro.

Dernière modification par Roro (10-03-2023 21:46:11)

William04

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Re : Équivalent en + oo avec un DL

Bonjour, pour le dernier terme j’ai factorisé par x ce qui a permis d’écrire
(4 + 1/x)/8x
Je suis bloqué car je trouve que le dl2 (0) de f est un petit o de u**2 au voisinage de 0 et tout les termes de mon DL sont nuls… j’ai du me tromper quelque part… néanmoins je ne vois pas comment vous avez trouvé la fonction g, le deuxième terme est (4x-1) le tout divisé par 8x**2, je n’avais pas explicitement mis les parenthèses je m’excuse.

Dernière modification par William04 (11-03-2023 12:30:01)

Roro

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Re : Équivalent en + oo avec un DL

Bonjour,

Si tu ne mets pas les parenthèses au bon endroit, on ne peut pas comprendre...

Ré-écrit correctement ta fonction pour qu'on sache exactement de quoi tu parles (et tu peux le taper en Latex, ce sera plus simple).

Sinon, si tu trouves $0$ c'est que tu n'es pas allé assez loin dans l'ordre de ton développement.

Roro.

William04

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Re : Équivalent en + oo avec un DL

Merci beaucoup, je vais essayer d’aller à l’ordre 4