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William04

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Endomorphisme de rang 1

Bonjour,
Je bloque sur l’exercice suivant. On considère u un endomorphisme de E, E un K-ev, tel que rg(u)= 1 i.e dim(Im(u)) = 1. L’exercice consiste à montrer dans un premier temps qu’il existe un unique scalaire [tex]\lambda[/tex] tel que [tex]\ u^{2}= \lambda u[/tex] avant de montrer que si [tex]a\in\operatorname{K}^{*}\backslash \left\{ \lambda \right\}[/tex]alors [tex] u - a\operatorname{Id}_{E}\in\operatorname{GL(E)} [/tex]. J’ai réussi la première partie mais je bloque pour montrer que l’application précédente est un automorphisme de E. auriez-vous une idée ?

Glozi

Invité

Re : Endomorphisme de rang 1

Bonjour,
Tu as donc un polynôme annulateur de $u$. Que dire du spectre de $u$ ?
Si tu ne connais pas la notion de spectre, tu peux juste raisonner par l'absurde : si $u-aId_E$ n'est pas inversible, on trouve $x \neq 0$ tel que $u(x)=ax$ puis...
Bonne journée

William04

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Re : Endomorphisme de rang 1

Bonjour, merci pour la réponse. J’ai tenté ce que vous avez proposé. J’imagine que vous êtes parties du constat que si [tex]u -aid_{E}[/tex] n’est pas inversible, elle n’est donc pas injective i.e
[tex] \ker \left( u-aid_{E}\right) \neq \left\{ O_{E}\right\}[/tex] donc il existe [tex] x\neq 0_{E}[/tex] tel que [tex] u\left( x\right) =ax[/tex] ce qui implique [tex] u^{2}\left( x\right) =u\left( ax\right) =au\left( x\right) [/tex] par linéarité de u or il existe un unique [tex]\lambda\in\operatorname{K}[/tex] tel que [tex] u^{2}\left( x\right) =\lambda u\left( x\right) [/tex] donc [tex]a = \lambda[/tex] ce qui est absurde car [tex]a\in\operatorname{K}^{*}\backslash \left\{\lambda  \right\}[/tex]. Donc [tex] \ker \left( u-aid_{E}\right) =\left\{ 0_{E}\right\} [/tex] i.e [tex]u -aid_{E}[/tex] est injective et comme on est en dimension finie, par le théorème de caractérisation des isomorphismes en dimension finie on en déduit [tex]u -aid_{E}[/tex] est inversible ?
Veuillez m’indiquer s’il y a une faille dans mon raisonnement… merci d’avance.

Glozi

Invité

Re : Endomorphisme de rang 1

Attention, ici $au(x)=\lambda u(x)$ n'implique pas forcément que $a=\lambda$.