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William04

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Fractions rationnelles

Bonjour,
Auriez-vous une idée pour résoudre l’exercice suivant ?
Soit F une fraction rationnelle de C(X) et G1, G2, … , Gn , n fractions rationnelles de C(X) tel que:
F^n+1 + F^n G1 + … + F Gn-1 + Gn = 0 , n > 1
Montrer que l’ensemble des pôles de F est inclu dans la réunion des ensembles des poles de G1, …, Gn.

Dernière modification par William04 (04-03-2023 17:38:55)

Michel Coste

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Re : Fractions rationnelles

Bonsoir,

En divisant l'égalité par [tex]F^n[/tex], tu verras peut-être mieux.

William04

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Re : Fractions rationnelles

J’ai tenté votre astuce mais je ne vois toujours pas comment procéder… J’ai essayé de démontrer le résultat par une récurrence sur n, l’initialisation se fait naturellement, mais je me retrouve bloqué à l’hérédité, à laquelle j’ai tenté votre astuce. Pourriez-vous m’en dire davantage quant à la résolution?

Michel Coste

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Re : Fractions rationnelles

Écrivons [tex]F==-G_1-\dfrac{G_2}F-\cdots-\dfrac{G_n}{F^n}[/tex].
Maintenant, si [tex]z[/tex] est un pôle de [tex]F[/tex] ...