Forum de mathématiques - Bibm@th.net

@Xexplor : oui, mais attention à vos notations : c'est [tex]\alpha_1.f_{a_1} +\alpha_2.f_{a_2}=0[/tex] par exemple, d'où il découle [tex]\alpha_1.a_1 +\alpha_2.a_2=0[/tex] ainsi que [tex]\alpha_1 +\alpha_2=0[/tex]

@Xexplor : ça peut peut-être marcher pour la récurrence en multipliant par [tex]e^{-a_1x}[/tex]... et en dérivant l'expression obtenue...

Bonjour,
déjà bien comprendre ce qu'on appelle une famille libre ici.
Ensuite envisager des cas simples :
1) Que se passe-t-il si [tex]\alpha_1.f_a=0[/tex] pour [tex]\alpha_1 \in \mathbb C[/tex] et [tex]a \in \mathbb C[/tex]?
2) Que se passe-t-il si [tex]\alpha_1.f_{a_1} +\alpha_2.f_{a_2}=0 [/tex] ?
3) Ensuite, ça devrait marcher avec une récurrence, non ?P'têt ben qu'oui, p'têt ben qu'non : j'en arrive à considérer [tex]\begin{vmatrix} 1 & 1&1 \\ a_1 & a_2 &a_3\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2\end{vmatrix}[/tex]... A suivre...

bonjour,
Pour construire une courbe paramétrée définie par des équations [tex]x=f(t)[/tex] et [tex]y=g(t)[/tex], on étudie simultanément les deux fonctions [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex], en suivant le plan que voici :
1°) On recherche les ensembles de définitions de [tex]f[/tex] et [tex] g[/tex].
2°) On examine si les fonctions [tex]f,g[/tex] sont périodiques, ou paires, ou impaires.
3°) On étudie le sens de variation de [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex](le plus souvent, on étudie pour cela les signes de [tex]f'[/tex] et [tex]g'[/tex]).
4°) On détermine les points particuliers correspondant à des valeurs remarquables de [tex]t[/tex], et les tangentes en ces points (s'il y en a) .
5°) On étudie les branches infinies.
6°) On étudie la concavité.
Exemple :

bonjour,
Si j'ai bien compris, @Emmanuel le grand@-2, [tex]\textrm{Ker}\, f = \textrm{vect}(1,1,1)[/tex]. Donc [tex]\textrm{Ker}\, f[/tex] est la DROITE VECTORIELLE [tex]D[/tex] dont UN vecteur directeur (une base, oui) est [tex](1,1,1)[/tex]. Les autres bases sont les vecteurs [tex]k(1,1,1) [/tex] avec [tex]k \neq 0[/tex]. Il ne faut pas oublier l'aspect géométrique de tels exercices : ici, on peut se représenter la droite soit avec geogebra3D, soit avec un petit dessin vite fait sur une feuille de papier, ... Les points de cette droite sont les points de [tex]\mathbb R^3[/tex] qui sont envoyés sur [tex]0[/tex] par l'application linéaire [tex]f[/tex] qui intéresse dans l'exercice. Cela pourrait être pour [tex]f[/tex] une projection sur un plan supplémentaire  de [tex]D[/tex] parallèlement à [tex]D[/tex] par exemple...

bonjour,
ça marche, @Fred, sur l'ensemble [tex]F(E,X)[/tex] où [tex]E[/tex] désigne un ensemble, [tex](X,d)[/tex] un espace métrique et [tex]F(E,X)[/tex] l'ensemble des applications bornées de [tex]E[/tex] dans [tex]X[/tex] ?
Reste à définir "application bornée de [tex]E[/tex] dans [tex]X[/tex]". Je fais un essai : [tex]f:E \to X[/tex] est dite "bornée" au lieu de dire que le diamètre de [tex]f(E)[/tex] est fini.
Maintenant, faut définir le diamètre : [tex]diam(f(E)):=(sup(d((f(x),f(y)), x,y \in E[/tex]).

bonjour,
Soit [tex]E[/tex] et [tex]F[/tex] deux ensembles et soit [tex]f:E \to F[/tex]
Tout d'abord rappeler que le signe "[tex]:=[/tex]" signifie "on affecte". Donc "[tex]Im(f) := \{f(x), x ∈ E\} = \{y ∈ F : ∃x ∈ E, y = f(x)\}[/tex]" se lit par exemple "[tex]Im(f)[/tex] désigne l'ensemble des [tex]f(x)[/tex] où [tex]x[/tex] est un élément de [tex]E[/tex], c'est-à-dire l'ensemble des éléments [tex]y[/tex] de [tex]F[/tex] de la forme [tex]y=f(x)[/tex] pour au moins un [tex]x[/tex] dans E". Il faut à tout prix, je crois, faire l'effort de l'exprimer en français -nous ne sommes pas des robots-. Quant à la deuxième écriture, sans le signe "il existe", je trouve qu'elle n'a pas de sens très clair.
La situation est paradoxale : je crois savoir que c'est Bourbaki qui a popularisé via ses élément les signes [tex]\forall \exists \nexists \lnot \land \lor \to \leftrightarrow \Rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow [/tex] mais à leurs corps défendant si j'ose dire. Quand on lit des Bourbaki [Dixmier, Godement, Dieudonné,  Cartan, ..., Skandalis,...], on ne peut être que frappé par le soin qu'ils apportent à s'exprimer le plus possible dans un français on ne peut plus clair. Leurs Eléments étaient destinés aux seuls mathématiciens professionnels mais quand ils s'adressent via leurs ouvrages didactiques aux apprenants, ils évitent à tout prix un "jargon" fait de symboles ésotériques réservés aux seuls initiés qui se sont ensuite parfois empressés sans discernement de les répandre dans un public auxquels ils n'étaient pas destinés.

merci @yoshi. j'essaie tout de suite. Trop la classe !!

merci @yoshi[je sens que je vais rêver maths cette nuit...]
Cette illustration est mieux

re-bonjour
1) peut s'écrire (i)=>(ii), 2) peut s'écrire (ii)=>(iii), 3) peut s'écrire (iii)=>(iv) et 4) peut s'écrire (iv)=>(i); c'est un type de raisonnement qu'on peut nommer "raisonnement circulaire" ou "raisonnement en boucle"[je ne me souviens plus bien du vocabulaire employé ]
Je vous laisse en déduire la réponse à 5) et lever votre doute au moins pour la question 5), @Gus1234
Quant au contre-exemple que vous cherchez et qui existe je crois, imaginez le plan euclidien R², comme au collège : d'abord vous projetez sur l'axe (x'x) puis vous faites la symétrie par rapport à l'axe (y'y); je parie que si vous appelez [tex]f[/tex] cette composée, vous trouverez que [tex]f:(x,y)->(-x,0)[/tex] et que [tex]f^2(x,y)=(x,0) [/tex] alors que [tex]f(x,y)=(-x,0)[/tex]. Vous tiendrez alors UN contre-exemple ;).
Si je n'ai pas raconté trop de bêtises et si vous accordez, @Gus1234, un peu de crédit à mes conseils, ne perdez jamais de vue qu'il n'y a NULLE DIFFéRENCE à faire entre GEOMETRIE ELEMENTAIRE et ALGEBRE LINEAIRE( juste l'ordre a de l'importance ;); d'abord la géométrie et ensuite l'algèbre linéaire)

bonjour @Bernard-maths et merci beaucoup pour le joli et intéressant dessin; je l'avais fait aussi mais je n'ai pas trouvé le moyen de le faire apparaître ici. Au fait, OUi, je suis à le jumeau de StéphaneJ :).
Comme je suis sûrement un peu sadique avec moi-même comme avec les autres matheux, du coup, je me suis posé une question : comment se fait -il que les deux tangentes s'intersectent sur l'axe des abscisses ? (j'avoue ne pas m'être penché sur la question mais je suis sûr que l'un d'entre nous le fera et m'obligera à mon tour à m'y pencher.
Très cordialement,
Stéphane