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Xexplor

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Montrer qu'une famille est libre

Bonjour,

Je suis bloqué dans un exercice auquel il est demandé de montrer que la famille (fa(x)=exp(ax)) avec a appartient à C est une famille libre dans le C-espace vectoriel C(R,C) ?

Que me conseillez-vous de faire ?
Vos aides ??

stfj

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Re : Montrer qu'une famille est libre

Bonjour,
déjà bien comprendre ce qu'on appelle une famille libre ici.
Ensuite envisager des cas simples :
1) Que se passe-t-il si [tex]\alpha_1.f_a=0[/tex] pour [tex]\alpha_1 \in \mathbb C[/tex] et [tex]a \in \mathbb C[/tex]?
2) Que se passe-t-il si [tex]\alpha_1.f_{a_1} +\alpha_2.f_{a_2}=0 [/tex] ?
3) Ensuite, ça devrait marcher avec une récurrence, non ?P'têt ben qu'oui, p'têt ben qu'non : j'en arrive à considérer [tex]\begin{vmatrix} 1 & 1&1 \\ a_1 & a_2 &a_3\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2\end{vmatrix}[/tex]... A suivre...

Dernière modification par stfj (25-07-2022 15:09:48)

Xexplor

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Re : Montrer qu'une famille est libre

Je m'excuse, mais aucune idée , je sais seulement comment montrer qu'une famille est libre sur un R espace vectoriel.

stfj

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Re : Montrer qu'une famille est libre

@Xplor : Je vous le montre pour [tex]\alpha.f_a=0[/tex] :
Supposons que pour tout [tex]x \in \mathbb R, \alpha.f_a(x)=0[/tex] ie [tex]\alpha.exp(a.x)=0[/tex]. En particulier, pour [tex]x=0[/tex], [tex]\alpha.1=0[/tex] donc [tex]\alpha=0[/tex]. ça va ? [remarquez que c'est un peu idiot dans le cas d'un seul vecteur mais ça a l'avantage de se généraliser pour 2 :))]

Dernière modification par stfj (25-07-2022 15:32:25)

stfj

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Re : Montrer qu'une famille est libre

@Xexplor : ça peut peut-être marcher pour la récurrence en multipliant par [tex]e^{-a_1x}[/tex]... et en dérivant l'expression obtenue...

Xexplor

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Re : Montrer qu'une famille est libre

@Xplor : Je vous le montre pour [tex]\alpha.f_a=0[/tex] :
Supposons que pour tout [tex]x \in \mathbb R, \alpha.f_a(x)=0[/tex] ie [tex]\alpha.exp(a.x)=0[/tex]. En particulier, pour [tex]x=0[/tex], [tex]\alpha.1=0[/tex] donc [tex]\alpha=0[/tex]. ça va ? [remarquez que c'est un peu idiot dans le cas d'un seul vecteur mais ça a l'avantage de se généraliser pour 2 :))]

Donc, est ce que je continue pour combinaison linéaire de deux vecteurs ou je dois faire une réccurence sur n vecteurs ?

stfj

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Re : Montrer qu'une famille est libre

@Xexplor : pour comprendre ce qui se passe, envisagez une combinaison linéaire de deux vecteurs. ça me paraît plus prudent. Quant à une récurrence, c pas sûr que ça marche... Pensez à dériver : [tex]Si F=0 alors F'=0[/tex]

Dernière modification par stfj (25-07-2022 15:48:17)

Xexplor

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Re : Montrer qu'une famille est libre

On suppose que a1exp(ax) + a2exp(ax)= 0 , alors en dérivant cette expression on obtient a1.a.exp(ax) + a2.a.exp(ax) = 0, donc a1.a+a2.a = 0 , mais on n'a pas des conditions sur a?!
Que dois-je faire ?
Et si je montre celà pour 2 , est-ce-que je devrais continuer pour 3 ou quoi ?
Merci.

stfj

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Re : Montrer qu'une famille est libre

@Xexplor : oui, mais attention à vos notations : c'est [tex]\alpha_1.f_{a_1} +\alpha_2.f_{a_2}=0[/tex] par exemple, d'où il découle [tex]\alpha_1.a_1 +\alpha_2.a_2=0[/tex] ainsi que [tex]\alpha_1 +\alpha_2=0[/tex]

Dernière modification par stfj (25-07-2022 16:13:29)