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bonjour
pour l'exercice 1
K est compact donc fermé et borné, f est continue
l'image d'un compact par une application continue est un compact donc f est bornée sur R .
donc f atteint son maximum

j'ai changé quelques trucs pour éviter les confusions, peut être que tu y verras la réponse à ta question .

pour une équation du second ordre (ou d'ordre superieur) :

soit la méthode direct, qui consiste à canoniser l'équation, de calculer l'exponentielle de la matrice obtenu grâce soit à un changement de base [tex]A=PDP^{-1}[/tex] ou en utilisant Cayley-Hamilton, afin d'utiliser la formule de Duhammel qui donne directement la solution (direct mais laborieuse)

soit la méthode encore plus direct qui consiste a calculer l'équation caractéristique associée, trouver les solutions de l'EC et ensuite la solutions de l'équation homogène est [tex]\sum P(t)_i e^{\lambda t}[/tex] si [tex]\lambda[/tex]est de multiplicité[tex]\alpha[/tex],[tex]\lambda[/tex] solution de l'équation caractéristique, alors le degré de [tex]P(t)[/tex]  est  [tex]d=\alpha -1[/tex]

exemple :

[tex](E) :  y"-4y'+4y=t²+3[/tex]
on calcule les solutions de son équation caractéristique
[tex]r²-4r+4=0           \Leftrightarrow                (r-2)²=0[/tex]
les solutions sont : [tex]r=2[/tex] de multiplicité 2
la solution de l'équation homogène est donc [tex]y(t) = (at+b)e^{2t}[/tex]
en second membre on a un polynôme de degré 2 (et une exponentielle[tex]e^{0t} =1[/tex])
donc on pose[tex]\phi(t) = at²+bt+c[/tex]
et on calcule [tex]\phi'(t)[/tex] et [tex]\phi"(t)[/tex] et on réinjecte dans l'équation (E)

[tex]2a-4(2at+b)+4(at²+bt+c)=t²+3   \Leftrightarrow    4at²+(-8a+4b)t+(2a-4b+4c)=t²+3[/tex]

on procède par identification
[tex]\begin{cases} 4a=1  \\-8a+4b=0 \\ 2a-4b+c=3   \end{cases}     \Leftrightarrow          \begin{cases} a=\frac 14  \\b=\frac 12 \\ c=\frac 92   \end{cases}[/tex]

la solution est donc [tex]y_g(t) =y(t)+\phi(t)= (at+b)e^{2t} + \frac14 t² + \frac12 t +\frac92[/tex]

bonjour
oui il est possible que l'inverse de x soit encore x mais dans ce cas x.x=e

on écrit [tex]f(x,y)=f(rcos\theta,rsin\theta)[/tex]
si il ne reste que du cosinus ou du sinus il n'y a pas de limite

bonjour
Pour connaitre respectivement les densités de X et Y, il faut intégré [tex]f_{X,Y}[/tex] par rapport à y et par rapport à x :
[tex]f_{X}=A\times\int_0^{1}\,\xy\times (2-x-y)\,dy[/tex]
[tex]f_{Y}=A\times\int_0^{1}\,\xy\times (2-x-y)\,dx[/tex]

ici les variables ne sont pas indépendantes car on ne peut factoriser [tex]xy\times (2-x-y)[/tex]

dans cette matrice on a vu que cette famille étai génératrice d'un plan et on a[tex] vect(u1,u2) [/tex]
avec [tex]u1 = (1,1,1)[/tex]
      [tex]  u2= (-1,0,-1)[/tex]

il faut savoir qu' une équation d'un plan[tex] P: ax+by+cz=0[/tex] (qui contient 0 sinon on aurait un soucis de linéarité et ce serais un plan affine et non un sous espace vectoriel)  est caractérisé par sa normal de coordonné [tex](a,b,c)[/tex]

donc on peu donné une équation du plan engendré par [tex](u1,u2)[/tex] (en utilisant le produit vectoriel)
une normal de P est[tex] (-1,0,1)[/tex] donc P est d'équation : [tex]-x+z=0[/tex] et on a [tex]P= \mathcal{f} (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 -x+z=0\mathcal{g}[/tex]

à l'inverse si on a l'équation du sous espace vectoriel P
on a[tex] -x+z=0 \Leftrightarrow z=x    \Leftrightarrow   (x,y,z)=(x,y,x)=(x(1,0,1)+y(0,1,0))[/tex]
donc vect((1,0,1),(0,1,0)) forme une base et on remarque qu'en faisant la somme des vecteur de la base on retrouve u1 .
la base d'un SEV n'est pas unique .

autre exemple :
si on a une matrice [tex]   C =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   [/tex]

par la méthode du pivot de Gauss on voit que rang C = 1 on a £1=e1 (e1 est le premier vecteur de la base canonique) £2=2*e1=2*£1 de même pour £3
donc la famille est lié mais génératrice d'un espace de dimension 1
et e1 forme une base de E, un espace vectoriel de dimension 1 est une droite vectorielle
soit D une droite d'équation y-ax=0 dans [tex]\mathbb{R}^3[/tex]
on a [tex]D=\mathcal{f}(x,y)/y-ax=0\mathcal{g} \Leftrightarrow y=ax    \Leftrightarrow   (x,y,0)=(x,ax,0)=(x(1,a,0))[/tex]

si deux vecteur sont orthogonaux alors leur produit scalaire est nul .
par exemple :

tu as le vecteur [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{pmatrix} [/tex]
tu cherche un vecteur [tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z  \end{pmatrix} [/tex]
tel que [tex]( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z  \end{pmatrix} ) = 0[/tex]
tu as donc [tex]x+2y+3z=0[/tex] il existe une infinitié de vecteur vérifiant cette équation ( 1équation a 3 inconnues )
par exemple le vecteur[tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0  \end{pmatrix} [/tex]ou encore [tex] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1  \end{pmatrix} [/tex]

calcule le pour vérifier que ça fait bien 0 .

on choisit [tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0  \end{pmatrix} [/tex] et on calcule [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{pmatrix} \land  \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2*0-3*(-1) \\ 3*2-0*1 \\ 1*(-1)-2*2)  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -5  \end{pmatrix}[/tex]

le vecteur obtenu est orthogonal aux autres, tu peux le vérifier en calculant les produits scalaires deux à deux, tu dois toujours trouver 0

bonjour
je n'ai pas bien compris ce que tu demandes, mais le calcul de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire  en probabilité est une application de la transformé de fourrier .

merci de votre réponse

cependant je ne comprend pas pourquoi nous n'avons pas [tex]y'''-2y"+y'-2y=-2e^{-it}[/tex]
afin d'obtenir une somme d'exponentielles et it et -it
au même titre que nous avons [tex]t    -> cost[/tex] pour la valeur propre [tex]-i[/tex] ?

et est-ce normal que je trouve [tex]tcost[/tex] à une constante près ?

merci

on peut aussi retenir que le triangle équilatéral est isocèle  et pas l'inverse, mais selon moi les méthodes mnémotechniques employées ici sont plus difficiles à retenir que les définition elles même ...