algebre linéaire

chipp · 25-04-2011 22:30:34

Bonsoir à tous je viens vous poser quelques questions en espaces vectoriels et SEV

(vu que j ai fait un BEP j ai pas eu les bases comme tout le monde)

alors pour montrer qu une famille est libre on calcule bien le déterminant si il est =0 c est libre sinon c est lié c est bien ca?
comment déterminer le rang et la dimension et la base d un SE engendré?

Pour trouver un SE engendré a partir d un certain nombre de vecteurs donné faut il poser un système et le résoudre pour trouver le SE engendré?

Comment on fait pour trouver une base orthogonale ?

Merci de vos futures réponses je sais que je pose beaucoup de question mais j espère que quelqu’un saura m épauler merci a tous

Cordialement et je vous remercie d avance
PS: SI C EST POUR D ILLUSTRER AVEC DES EXEMPLES SIMPLES JUSTE POUR COMPRENDRE LE PROCÉDÉ JE VOUS EN SERAI GRÉ

iamismael · 25-04-2011 23:24:47

bonsoir

une famille de vecteur (les colonnes de la matrice A) est libre si ils ne sont pas colinéaire et donc s'ils forment une base donc det(A) =\= 0, si det (A) = 0, A n'est pas inversible et on a deux cas possible à ce niveau :
- A contient un vecteur nul donc la famille est liée
- il existe un vecteur de A qui est combinaison linéaire des autres
exemple 1 :
[tex] A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} [/tex]

det(A) = 0 et on remarque que la somme du premier vecteur et du deuxième vecteur forme le 3 eme vecteur
de A

géométriquement dans [tex] R^3 [/tex] tu peux voir que les deux premiers vecteurs "caractérisent" un espace de dimension 2 ( un plan ) dans [tex] R^3 [/tex] et que leur somme forme un vecteur qui est toujours dans le plan,
c'est à dire en gros qu'il "ne porte pas la 3eme dimension de [tex] R^3 [/tex] "

exemple 2

[tex] B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} [/tex]

la on voit facilement que det(B) = 0

de même les deux premier vecteur forme une base de [tex] R^2 [/tex] sauf que le 3 eme vecteur est le vecteur nul .

et donc en gros la dimension de l'espace engendré est égale au rang de la matrice, si les vecteurs forment une famille libre, alors la taille de la matrice est égal au rang de la matrice,sinon le rang est inférieur. Dans notre exemple le rang de la matrice est 2 donc la famille est liée .
un simple pivot de gauss permet de connaitre le rang de la matrice , le nombre de lignes où il n'y a pas que des 0 donne le rang,

pour trouver une base orthogonal il suffit de trouver une famille de vecteurs (x1,x2,.....,xn)
tel que le produit scalaire (xi,xj)=0
dans [tex] R^3 [/tex]
si on a un vecteur [tex] ^t (a,b,c) [/tex] alors il faut un vecteur [tex] (x,y,z) [/tex] différent du vecteur nul qui vérifie
[tex] ax+by+cz=0[/tex]
[tex] (x,y,z) [/tex] n'est pas unique
ensuite pour trouver le 3eme vecteur il suffit de le calculer a l'aide du produit vectoriel

[tex] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}bz-cy \\ cx-az \\ ay-bx \end{pmatrix} [/tex] qui sera orthogonal aux deux autres .

Dernière modification par iamismael (25-04-2011 23:46:22)

chipp · 25-04-2011 23:54:33

Pour la base orthogonale j ai pas trop compris...

iamismael · 26-04-2011 00:22:10

si deux vecteur sont orthogonaux alors leur produit scalaire est nul .
par exemple :

tu as le vecteur [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/tex]
tu cherche un vecteur [tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/tex]
tel que [tex]( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ) = 0[/tex]
tu as donc [tex]x+2y+3z=0[/tex] il existe une infinitié de vecteur vérifiant cette équation ( 1équation a 3 inconnues )
par exemple le vecteur[tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/tex]ou encore [tex] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/tex]

calcule le pour vérifier que ça fait bien 0 .

on choisit [tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/tex] et on calcule [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*0-3*(-1) \\ 3*2-0*1 \\ 1*(-1)-2*2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}[/tex]

le vecteur obtenu est orthogonal aux autres, tu peux le vérifier en calculant les produits scalaires deux à deux, tu dois toujours trouver 0

chipp · 26-04-2011 00:34:07

super alors la ton exemple on peut pas faire plus clair ^_^

tu peux me donner un exemple pour un SE engendré (simple) avec calcul base dimension et corrdonnés

merci mille fois c est limpide tes explications

MOHAMED_AIT_LH · 26-04-2011 00:45:26

Bonsoir:

Pour mémoriser le lien entre le determinant et l liberté, une vision géométrique serait peit être utile :
Considérons [tex]4[/tex] points [tex]A,B,C[/tex] et [tex]D[/tex].
Le determinant de la famille de vecteurs [tex](\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})[/tex] est le volume (algébrique) de paralléllépipède rectangle construit à partir des points [tex]A,B,C[/tex] et [tex]D[/tex]

On observe que ce volume est nul uniquement quand ces points sont dans un même plan, ce qui revient à dire que les vecteurs [tex]\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}[/tex] sont linéairement dépendants.

Dans le cas contraire (les points ne sont pas coplanaires) il est impossible d'écrire le vecteur [tex]\vac{AD}[/tex] sous la forme : [tex]x \vec{AB} + y \vec{AC} [/tex] (essye de voir ça).

Pour résumer :

Une famille de vcteurs [tex](u,v,w)[/tex] de [tex]{\mathbb R}^3[/tex] est liée si et seulement si [tex]\det(u,v,w)=0[/tex]

(Bien netendu le determiant ici veut dire celui de la matrice dont les colonnes sont les cordonnées de ces vecteurs respectivement relativement à la base canonique)

Orthogonalité

Deux vecteurs [tex]u=(x,y,z)[/tex] et [tex]v=(x',y',z')[/tex] sont orthogonaux si [tex] xx'+yy'+zz'=0[/tex]

La quantité [tex]xx'+yy'+zz' = \langle u,v \rangle [/tex] s'appelle le produit scalaire des vecteurs [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex].

chipp · 26-04-2011 00:56:38

iamismael a écrit :

on choisit [tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/tex] et on calcule [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*0-3*(-1) \\ 3*2-0*1 \\ 1*(-1)-2*2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}[/tex]

le vecteur obtenu est orthogonal aux autres, tu peux le vérifier en calculant les produits scalaires deux à deux, tu dois toujours trouver 0

Pour cette partie en regardant de plus pres j ai pas trop compris d ou sors le calcul de la grosse parenthese

j ai l impression qu on multiplie en produit en croix

merci

Dernière modification par chipp (26-04-2011 01:00:00)

iamismael · 26-04-2011 01:13:34

c'est la définition du produit vectoriel

iamismael a écrit :

[tex] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}bz-cy \\ cx-az \\ ay-bx \end{pmatrix} [/tex]

iamismael · 26-04-2011 03:05:14

iamismael a écrit :

[tex] A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} [/tex]

dans cette matrice on a vu que cette famille étai génératrice d'un plan et on a[tex] vect(u1,u2) [/tex]
avec [tex]u1 = (1,1,1)[/tex]
[tex] u2= (-1,0,-1)[/tex]

il faut savoir qu' une équation d'un plan[tex] P: ax+by+cz=0[/tex] (qui contient 0 sinon on aurait un soucis de linéarité et ce serais un plan affine et non un sous espace vectoriel) est caractérisé par sa normal de coordonné [tex](a,b,c)[/tex]

donc on peu donné une équation du plan engendré par [tex](u1,u2)[/tex] (en utilisant le produit vectoriel)
une normal de P est[tex] (-1,0,1)[/tex] donc P est d'équation : [tex]-x+z=0[/tex] et on a [tex]P= \mathcal{f} (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 -x+z=0\mathcal{g}[/tex]

à l'inverse si on a l'équation du sous espace vectoriel P
on a[tex] -x+z=0 \Leftrightarrow z=x \Leftrightarrow (x,y,z)=(x,y,x)=(x(1,0,1)+y(0,1,0))[/tex]
donc vect((1,0,1),(0,1,0)) forme une base et on remarque qu'en faisant la somme des vecteur de la base on retrouve u1 .
la base d'un SEV n'est pas unique .

autre exemple :
si on a une matrice [tex] C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/tex]

par la méthode du pivot de Gauss on voit que rang C = 1 on a £1=e1 (e1 est le premier vecteur de la base canonique) £2=2*e1=2*£1 de même pour £3
donc la famille est lié mais génératrice d'un espace de dimension 1
et e1 forme une base de E, un espace vectoriel de dimension 1 est une droite vectorielle
soit D une droite d'équation y-ax=0 dans [tex]\mathbb{R}^3[/tex]
on a [tex]D=\mathcal{f}(x,y)/y-ax=0\mathcal{g} \Leftrightarrow y=ax \Leftrightarrow (x,y,0)=(x,ax,0)=(x(1,a,0))[/tex]

chipp · 26-04-2011 08:30:11

Alors apres une bonne nuit de sommeil et un regard concentré ce matin je pense avoir compris tout ce que tu as dit

pour determiner un SE engendré on pose un systeme que l on resoud et des que a la valeur theorique de chaque variable, a t on le droit d attribuer des valeurs quelconques a x,y et z ?
ou doit t on faire autrement.
concernant la base orthogonale j ai compris c est juste l application de la formule que tu m as enoncée j avais pas trop fait attention.
quand on trouve une base, est ce synonyme de projetté orthogonal?

Merci pour tes explications vraiment tu les fais d une maniere si simple a comprendre t es un as ^_^.

Dernière modification par chipp (26-04-2011 08:30:51)

abdou-dirac · 17-05-2011 20:41:55

pour q'une famille de vecteurs soit libre il faut et il suffit que la matrice dont les colonnes sont ces vecteurs soit inversible ou que rang soit egale au nombre de vectaurs

chipp · 18-05-2011 23:43:36

ou juste calculer le determinant c est plus facile ^^

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