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#1 28-04-2011 22:21:05
- chipp
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Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
Bonsoir a tous je viens de commencer les equations differentielles et j avoue que j ai du mal
J ai compris le concept mais pour l appliquer je rame
l equation se resoud en deux etapes:
D abord on cherche une solution homogène puis une solution particulière.
La solution générale nous est donnée par : SH +SP
Mais seulement quand on pose des conditions initiales je comprends pas trop doit t on prendre uniquement en compte les constantes et non l exponentielle?
De plus quand aux équations différentielles du second ordre avec second membre la je sais qu il faut regarder la forme du second membre pour adapter la solution qu il faudra trouver, cependant j ai un peu de mal
Quelqu un pourrai t il m eclairer un peu sur le fonctionnement de cette méthode car j en ai besoin pour faire de la dynamique economique pour analyser la croissance.
Merci a tous ceux qui liront et prendront quelques minutes de leur temps pour me renseigner
Cordialement
chipp
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#2 29-04-2011 00:13:31
- Era
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
Bonsoir a tous je viens de commencer les equations differentielles et j avoue que j ai du mal
J ai compris le concept mais pour l appliquer je rame
l equation se resoud en deux etapes:
D abord on cherche une solution homogène puis une solution particulière.
La solution générale nous est donnée par : SH +SP
Mais seulement quand on pose des conditions initiales je comprends pas trop doit t on prendre uniquement en compte les constantes et non l exponentielle?
De plus quand aux équations différentielles du second ordre avec second membre la je sais qu il faut regarder la forme du second membre pour adapter la solution qu il faudra trouver, cependant j ai un peu de mal
Quelqu un pourrai t il m eclairer un peu sur le fonctionnement de cette méthode car j en ai besoin pour faire de la dynamique economique pour analyser la croissance.
Merci a tous ceux qui liront et prendront quelques minutes de leur temps pour me renseigner
Cordialement
chipp
Bonjour
si par exemple a la fin d une resolution la solution generale est f(x) = b.exp(x) + 2xsinx avec condition initiale
f(0) = 1 alors tu as f(0) = b.exp(0) + 2sin0 = 1 ce qui entraine que b = 1
Bref les conditions initiales te permettent de déterminer les constantes
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#3 29-04-2011 00:18:55
- chipp
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
Ah salut ah ok donc les conditions initiales c est pour les constantes ok j ai compris
Mais sinon pour une équation de second ordre pour la solution particulière comment procède t on?
merci
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#4 29-04-2011 00:35:00
- iamismael
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
bonjour
le mieux est d'utiliser un exemple
il existe plusieurs manières de résoudre une équation différentielle :
prenons l'équation suivante
[tex]ty'-y=t²cost[/tex]
comme tu l'as dit on doit calculer la solution homogène
pour cela on pose [tex]z(t)=y(t)e^{-A(t)}[/tex]
ou [tex]A =\int a(t) dt[/tex]
ici on a [tex]ty'-y=0 \Leftrightarrow y'=\frac{1}{t} . y[/tex]
le terme devant y nous donne notre a(t)
donc [tex]A =\int \frac{1}{t} dt = ln t[/tex] donc[tex]z(t) = y(t)e^{-ln t} = y(t)e^{ln t^{-1}} =y(t) \frac{1}{t}[/tex]
on dérive z(t) et on obtient
[tex]z'=(\frac{1}{t}y'(t)-\frac{1}{t²})[/tex]en multipliant par [tex]t²[/tex]
on a [tex]z'=ty'-y=0 \Leftrightarrow z=C \Leftrightarrow y(t) \frac{1}{t}=C \Leftrightarrow y(t)=Ct[/tex] C une constante
le mieux ici est d'utiliser la méthode par variation de constante :
on a trouvé[tex]y(t)=Ct[/tex] on va partir du principe que C varie en fonction de t
ainsi[tex]y'(t)=C't+C[/tex]
on remplace dans l'équation :
[tex]t(C't+C)-Ct=t²cost \Leftrightarrow C't²+Ct-Ct=t²cost \Leftrightarrow C'=cost \Leftrightarrow C=-sint + C_2[/tex]
on remplace C par sa valeurs et on a la solution générale : [tex]y_g(t)=(C+C_2-sint)t[/tex]
les conditions initiales servent à calculer les constantes
Dernière modification par iamismael (29-04-2011 10:19:48)
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#5 29-04-2011 00:42:26
- chipp
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
ah merci iamismael comme d habitude c est clair et précis tu es mon sauveur ^_^
Mais dans le cadre d une équation de second ordre, pour la solution particulier ne doit t on pas regarder quelle est la forme du second membre et agir en conséquence?
et pour l équation homogène que ca soit premier ordre ou second ordre ca ne change rien du tout à la méthode de faire n est ce pas?
Merci
Dernière modification par chipp (29-04-2011 00:44:14)
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#6 29-04-2011 01:16:30
- iamismael
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
pour une équation du second ordre (ou d'ordre superieur) :
soit la méthode direct, qui consiste à canoniser l'équation, de calculer l'exponentielle de la matrice obtenu grâce soit à un changement de base [tex]A=PDP^{-1}[/tex] ou en utilisant Cayley-Hamilton, afin d'utiliser la formule de Duhammel qui donne directement la solution (direct mais laborieuse)
soit la méthode encore plus direct qui consiste a calculer l'équation caractéristique associée, trouver les solutions de l'EC et ensuite la solutions de l'équation homogène est [tex]\sum P(t)_i e^{\lambda t}[/tex] si [tex]\lambda[/tex]est de multiplicité[tex]\alpha[/tex],[tex]\lambda[/tex] solution de l'équation caractéristique, alors le degré de [tex]P(t)[/tex] est [tex]d=\alpha -1[/tex]
exemple :
[tex](E) : y"-4y'+4y=t²+3[/tex]
on calcule les solutions de son équation caractéristique
[tex]r²-4r+4=0 \Leftrightarrow (r-2)²=0[/tex]
les solutions sont : [tex]r=2[/tex] de multiplicité 2
la solution de l'équation homogène est donc [tex]y(t) = (at+b)e^{2t}[/tex]
en second membre on a un polynôme de degré 2 (et une exponentielle[tex]e^{0t} =1[/tex])
donc on pose[tex]\phi(t) = at²+bt+c[/tex]
et on calcule [tex]\phi'(t)[/tex] et [tex]\phi"(t)[/tex] et on réinjecte dans l'équation (E)
[tex]2a-4(2at+b)+4(at²+bt+c)=t²+3 \Leftrightarrow 4at²+(-8a+4b)t+(2a-4b+4c)=t²+3[/tex]
on procède par identification
[tex]\begin{cases} 4a=1 \\-8a+4b=0 \\ 2a-4b+c=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac 14 \\b=\frac 12 \\ c=\frac 92 \end{cases}[/tex]
la solution est donc [tex]y_g(t) =y(t)+\phi(t)= (at+b)e^{2t} + \frac14 t² + \frac12 t +\frac92[/tex]
Dernière modification par iamismael (30-04-2011 00:39:53)
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#7 29-04-2011 23:30:08
- chipp
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
Oui mais je voulais demander dans l equation differentielle de second ordre, lorsqu on etudie la forme du second membre, est ce qu il faut la deriver?
j ai un ami qui apparament mm a dit qu il faut que je derive la forme une fois puis une seconde fois puis je reinjecte le resultat dans l equation de base pour trouver la solution particuliere
Est ce vrai? merci
en tout cas je maitrise beaucoup mieux grace a vous
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#8 30-04-2011 00:42:05
- iamismael
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
j'ai changé quelques trucs pour éviter les confusions, peut être que tu y verras la réponse à ta question .
en second membre on a un polynôme de degré 2 (et une exponentielle[tex]e^{0t} =1[/tex])
donc on pose[tex]\phi(t) = at²+bt+c[/tex]
et on calcule [tex]\phi'(t)[/tex] et [tex]\phi"(t)[/tex] et on réinjecte dans l'équation (E)[tex]2a-4(2at+b)+4(at²+bt+c)=t²+3 \Leftrightarrow 4at²+(-8a+4b)t+(2a-4b+4c)=t²+3[/tex]
Dernière modification par iamismael (30-04-2011 00:46:28)
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#9 30-04-2011 00:52:16
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
Bonsoir ,
Mais dans le cadre d une équation de second ordre, pour la solution particulier ne doit t on pas regarder quelle est la forme du second membre et agir en conséquence?
[Avant de commencer je précise qu'il s'agit d'équations différentielles linéaires à coeficients CONStants}
Oui, dans des cas comme
1) [tex]ay''+by'+cy=P(t)[/tex] avec [tex]P[/tex] fonction polynômiale
Tu 'imites' en cherchant des solutions particuliéres polynomiales (de même degré que [tex]P[/tex] si [tex]c \neq 0[/tex])
2) [tex]ay''+by'+cy=P(t)e^{\omega t}[/tex]
Tu cherches des solutions particuliére de la forme [tex]Q(t)e^{\omega t}[/tex]
avec degré(Q)=degré(P) + ordre de multiplicité de [tex]\omega[/tex] en tant que racine l'équation caractéristique : [tex]at^2 + bt +c=0[/tex] si c'est le xas, sinon : degré(Q)=degré(P)
3) Dans le cas équation de la forme
[tex]ay''+by'+cy=P(t)e^{\omega t} + R(t) e^{\mu t}[/tex]
on peut se ramener aux cas précédnet par le principe de superposition (regarde ton cours pour ce principe)
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (30-04-2011 00:53:18)
#10 30-04-2011 00:54:16
- chipp
- Membre
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
oui mais si 2at+b je le derive une seconde fois ca va me donner 2at non?
Alors pourquoi quand on reinjecte on ne le vois pas dans E?
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#12 30-04-2011 01:21:56
- chipp
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Re : Introduction aux équations différentielles de premier et second ordre
CA Y EST JE VIENS DE COMPRENDRE
en fait le y c est pour la solution particuliere non derivée
y' pour la premiere derivée
y'' pour la deuxieme derivée
en effet on reinjecte dans l equation de base et apres on calcul
Maintenant la derniere etape que je dois comprendre c est quel type de solution particuliere correspond à chaque equation et apres ca je pense que je n aurai plus aucun probleme
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