extrema, continuité et différentiabilité

Valentin · 10-05-2011 07:59:15

Bonjour,
La topologie me cause de problème:
exercice1
Soient E un espace normé, K un compact de E et f une application continue de K dans R. Montrer que f atteint son maximum.

Exercice 2
Soit N1 et N2 deux normes d'un espace vectoriel E;
Montrer que sup(N1,N2) est une norme sur E.

Pour l'exercice2: en passant par la définition, l'inégalité me pose problème. à l'exercice 1 je n'ai pas d'idée!
En vous remerciant d'avance!
Valentin

iamismael · 10-05-2011 14:00:22

bonjour
pour l'exercice 1
K est compact donc fermé et borné, f est continue
l'image d'un compact par une application continue est un compact donc f est bornée sur R .
donc f atteint son maximum

Dernière modification par iamismael (10-05-2011 14:09:15)

iamismael · 10-05-2011 14:08:51

pour l'exercice 2
je pense qu'en supposant N2>N1 ça suffit.

Fred · 10-05-2011 21:17:08

Bonjour Valentin,

Je vais d'abord parler de l'exercice 2.
Pour prouver l'inégalité triangulaire concernant N=sup(N1,N2), il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire pour chaque N1 et N2 : pour tous x et y de E, on a à la fois
[tex]N1(x+y)\leq N1(x)+N1(y)\leq N(x)+N(y)[/tex] et [tex]N2(x+y)\leq N2(x)+N2(y)[/tex]
En prenant la borne supérieure, on obtient bien [tex]N(x+y)\leq N(x)+N(y)[/tex]

Pour ton premier exercice, as-tu vu dans ton cours que l'image d'une partie compacte par une application continue est une partie compacte? Si c'est le cas, il faut que tu partes de ce théorème...

Fred.

MOHAMED_AIT_LH · 10-05-2011 23:51:01

Bonsoir,

Si tu veux bien iamismael , j'ai une petite remarque à propos de ton intervention

iamismael a écrit :

f est continue
l'image d'un compact par une application continue est un compact donc f est bornée sur R .
donc f atteint son maximum

La fonction [tex]\arctan[/tex] est bornée sur R mais n'atteint pas sa borne sup.

(à moins que je ne t'ai pas bien compris)

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (10-05-2011 23:57:26)

MOHAMED_AIT_LH · 11-05-2011 00:10:40

Bonsoir:

Voici quelques détails qui peuvent t'aider (en tenant compte de ce que iamsail et Fred ont dit):

[tex]f(K)[/tex] est un compact de [tex]{\mathbb R}[/tex], donc [tex]f(K)[/tex] est une partie non vide majorée de [tex]{\mathbb R}[/tex], donc [tex]f(K)[/tex] admet la borne supérieure; disons [tex]M=\sup(f(K))[/tex].
Par définition de la borne supérieure , on a pour tout entier non nul [tex]n[/tex] , il existe [tex]x_n \in K[/tex] tel que [tex]M-1/n \leq f(x_n) \leq M[/tex]
[tex](x_n) [/tex] étant un suite à valeurs dans le compact [tex]K[/tex] , on peut en extraire une sous-suite convergente [tex](x_{\phi(n)})_n[/tex] vers une limite [tex]\ell \in K[/tex].
On a : [tex] M-1/\phi(n) \leq f(x_{\phi(n)}) \leq M[/tex] pour tout [tex] n \in {\mathbb N}^*[/tex]
Par continuité de [tex]f[/tex] et par passage à la limité quand [tex] n [/tex] tends vers [tex]+\infty [/tex] , on a [tex]M=f(\ell)[/tex]
Ce qui montre que M est atteint au point [tex]\ell [/tex] de [tex] K.[/tex]

Sauf erreur bien entendu !

PS: J'ai exceptionnelemnt détaillé dans ce cas (un peu par pitié) , mais je t'invite à confronter chaque étape aux éléments de ton cours ( par exemple quel théorème on a appliqué, pourquoi [tex] \ell \in K [/tex], la sous-suite tends vers [tex] \ell [/tex] ) etc,...

Si cependant quleuque chose n'est pas clair n'hésite pas de l'indiquer.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (11-05-2011 00:20:54)

iamismael · 11-05-2011 00:55:41

bonsoir
sauf erreur de m'a part, la fonction arctan est définie sur un ouvert de R donc pas un compact
non ?

MOHAMED_AIT_LH · 11-05-2011 10:32:58

Bonjour

Oui iamismael, la fonction [tex]\arctan[/tex] est définie sur [tex]\mathbb R[/tex] lui même

Je crois donc que juste la manière d'exprimer ne vas pas :

- Tu as dit f est bornée sur R alors que f a pour ensemble de départ E (je crois que tu voulias dire que f(K) est une partie fermée bornée de R, non ? )

et aussi quand on lit on comprends que le fait qu'une fonction soit bornée sur R permet de dire qu'elle atteint ses bornes.

Cordialement !

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (11-05-2011 10:34:01)

Valentin · 12-05-2011 13:24:37

Bonjour et merci à tous pour vos réponses. Oui, Fred le prof nous avait le théorème sur l'image d'une partie compacte, il m'était obscur, maintenant avec vos explications je vois mieux!
J'ai un autre problème sur la continuité et différentiabilité, voici l'énoncé:
Soit f:]0,1[]0,1[ [tex]\rightarrow \mathbb{R}[/tex]
[tex]f\left(x,y\right)=\left\{x\left(1-y\right)\,si\,x\leq y,\,y\left(1-x\right)\,si\,x>y\right.[/tex]
Etudier la continuité et la différentiabilité de f.

Différentiabilité:
j'ai pensé calculer les dérivés de f, puis leurs continuités:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=\left\{1-y\,si\,x\leq y\,,\,-y\,si\,x>y\right.[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=\left\{-x\,si\,x\leq y\,,\,1-x\,si\,x>y\right.[/tex]
j'étudie la continuité de deux dérivés:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(0,1\right)}{\partial x}\right|=\left|1-y-\left(-y\right)+1\right|=2[/tex]
idem pour f'(y) qui tend vers 2!
Les dérivées existent et sont continues en ]0,1[]0,[ et f est donc différentiable !
je doute sur la continuité et différentiabilité de f.

MOHAMED_AIT_LH · 12-05-2011 19:36:34

Bonjour,
Pour cet exo on va partager l'ouvert [tex]U=]0,1[ \times ]0,1[ [/tex] en trois parties :
[tex]U_1=\{(x,y) \in U / x>y \} , U_2=\{(x,y) \in U/ x<y \} et U_3=\{(x,y) \in U / x=y \}[/tex]
Le problème de continuité et différentiabilité ne se pose pas sur [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex] car la restriction de [tex]f[/tex] à chacun de ces (ouverts) est polynômiale donc de classe [tex]C^{\infty}[/tex]
Il reste à étudier la continuité de [tex]f[/tex] aux points de la forme [tex](a,a)[/tex]
Ensuite etudier la differentiabilité de [tex]f[/tex] en ces points où elle est continue.
Je ne comprend pas pourquoi tu t'interesses au point [tex](0,1)[/tex] alors que ce point n'est pas concerné puisque il n'appartient pas à [tex]U[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (13-05-2011 00:47:16)

Valentin · 13-05-2011 12:07:14

Bonjour MOHAMED _AIT_LH,
En effet, (0,1) n'est pas défini sur l'ensemble de définition, et c'est pourquoi je me demande où je dois étudier la continuité de f.
D'après toi, je prends [tex]a\in U[/tex] et j'étudie la continuité en ce point!
[tex]\left|f\left(x,y\right)-f\left(a,a\right)\right|=\left|x\left(1-y\right)-y\left(1-x\right)-(a\left(1-a\right)-\left(a\left(1-a\right))\right)\right|=\left|x\left(1-y\right)-y\left(1-x\right)\right|=\left|x-y\right|\rightarrow 0[/tex] quand (x,y) tend vers a. Donc f est continue en a. Est-ce que c'est juste?
Valentin

Dernière modification par Valentin (13-05-2011 12:10:51)

MOHAMED_AIT_LH · 13-05-2011 15:00:40

Bonjour,

Bonjour Valentin:

[tex]\bullet[/tex] Tu as dit [tex]a \in U[/tex] puis tu as écrit [tex](a,a)[/tex]

Concentre toi bien [tex]U[/tex] est un ensemble de couples de nombres réels :

Tu peux par exemple dire Si : [tex]A \in U[/tex] tel que [tex]A=(a,a)[/tex] avec [tex]a \in ]0,1[[/tex] ....

[tex]\bullet[/tex] Tu as remplacé [tex]f(x,y) - f(a,a)[/tex] par [tex]x(1-y)-y(1-x)-y(1-x)-(a(1-a)-(a(1-a)))[/tex]

à vrai dire je ne comprends pas ! et je vois que ce n'est pas correct car cette expresion ne dépends qe de [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] et non pas de [tex]a[/tex] ...

[tex]\bullet[/tex] Tu as dit [tex](x,y)[/tex] tends vers [tex]a[/tex]

ça ne va pas du tout : il faut dire [tex](x,y)[/tex] tends vers [tex](a,a)[/tex] ou [tex](x,y)[/tex] tends vers [tex]A.[/tex] avec [tex][/tex]A=(a,a)[tex][/tex].

[tex]\bullet[/tex] quelques idées :

Tu as à prouver que [tex]|f(x,y)-f(a,a)|[/tex] tends vers [tex]0[/tex] quand [tex](x,y)[/tex] tends vers [tex](a,a)[/tex]

Pour [tex]f(a,a)[/tex], c'est clair on [tex]a \leq a[/tex] donc [tex]f(a,a) =a(1-a)[/tex]

Pour [tex]f(x,y)[/tex] : il y a deux cas :

1er car [tex]x \leq y[/tex] alors [tex]f(x,y)=x(1-y)[/tex] et alors [tex]|f(x,y)-f(a,a)| =|x(1-y)-a(1-a)|[/tex]

tu peux par exemple écrire [tex]x(1-y)-a(1-a)=x-a-xy+a^2=x-a-x(y-a)-a(x-a)[/tex]
dés lors [tex]|f(x,y)-f(a,a)| \leq |x-a|+|x| |y-a|+ |a| |x-a| \leq [x-a|+|y-a|+|x-a|[/tex] car [tex]|x| \leq 1[/tex] et [tex]|a| \leq 1[/tex]
Donc [tex]|f(x,y)-f(a,a)| \leq 2 |x-a| + |y-a|[/tex]

Ne nous précipitons pas par passer tout de suite à à la limite , c'est encore tôt car on a cette inégalité juste pour un premier cas : [tex]x \leq y[/tex]

2em ca [tex]x>y[/tex] alors [tex]f(x,y)=y(1-x)[/tex]
dés lors

[tex]|f(x,y)-f(a,a)|=|y-yx-a+a^2|=|y-a-y(x-a)-a(y-a)|\leq 2|y-a| + |x-a|[/tex] (on a fait comme tout à l'heure au premier cas)

Conclusion:

Dans tous les cas on a

[tex]|f(x,y)-f(a,a)| \leq 2 (|x-a| + |y-a| )[/tex]

et maintenat le passage à la limite est permis gràce au fait que l'inégalté a lieux "dans tous les cas "

et [tex]f[/tex] est bien continue au point [tex](a,a)[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (13-05-2011 15:30:57)

Groupoid Kid · 13-05-2011 19:45:37

Salut Valentin !

Et bravo à Mohamed qui s'est plié en quatre pour tout détailler. Pour apporter ma petite pierre à l'édifice : si (comme moi) la fonction f te paraît compliquée, tu peux remarquer que [tex]\forall (x,y)\in U,\ f(x,y)=\min(x,y)-xy[/tex]. Et puisque la fonction "produit" est [tex]C^{\infty}[/tex], étudier la continuité et la dérivabilité de f revient à étudier celle du min.
Je ne suis pas en train de dire que ça rend le problème évident, hein, juste que ça permet de manipuler une fonction moins compliquée ;-) C'est d'ailleurs un bon exercice pour vérifier si tu as compris les explications qui précèdent : essayer de le refaire pour la fonction min. Ça peut aussi te permettre d'intuiter la réponse pour la différentiabilité.

Bon courage,
GK

MOHAMED_AIT_LH · 13-05-2011 20:29:38

Bonsoir,

Bonsoir Groupoid Kid et merci pour ta remarque qui réduit la fonction !

J'ai détaillé pour trois raisons:

1ERE : Je vois que Valentin est sincére dans ses essais
2EME: J'ai reamrqué chez lui des 'confusions' et je tente de les 'chasser' trop tôt pour lui permettre d'entrer dans le bain .
3 EME : Un autre travaille attends Valentin et qu'il fera bien s'il a compris (la differentiabilité): Je me suis dit que ça ne fait rien si je lui détaille la continuité quitte à voire ce qu'il fera ensuite.

Porte toi bien !

Valentin · 16-05-2011 12:56:37

Bonjour à tous,
Merci beaucoup MOHAMED _AIT_LH. Dans mon poste précédent, j'avais pensé que je pouvais directement étudier la continuité de f au point A(a,a), sans considérer les deux cas que tu as exposés. Visiblement, on ne le peut pas et c'est confus! Pourquoi tu as considéré le point A(a,a) pour étudier la continuité de f, puisque l'énoncé me donne juste l'intervalle où f est définie et ne me précise pas où (à quel point de l'intervalle) je dois étudier la continuité de f? Tu as levé mon doute sur la continuité, et j'ai compris. Maintenant, la différentiabilité. Quand on dit : étudier la différentiabilité de f, est-ce calculer d'abord les dérivés partielles puis étudier leurs continuités? On a:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=1-y,\,si\,x\leq y.\,Et\,\frac{\partial f}{\partial x}=-y,\,si\,x>y[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=-x,\,si\,x\leq y\,et\,\frac{\partial f}{\partial y}=-x\,si\,x>y[/tex]
étude de continuité de des dérivées partielles:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|1-y-\left(1-a\right)\right|=\left|-y+a\right|=\left|y-a\right|,\,si\,x\leq y[/tex].
si x>y, on a:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|-y-\left(-a\right)\right|=\left|-y+a\right|=\left|y-a\right|[/tex].
De même:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}\right|=\left|-x-\left(-a\right)\right|=\left|x-a\right|,\,pour\,x\leq y.[/tex]
Pour x>y, on a:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}\right|=\left|1-x-\left(1-a\right)\right|=\left|x-a\right|[/tex]
[tex]\forall x\leq y\,ou\,x>y, on\,a:\,\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|y-a\right|\,et\,\left|\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}\right|=\left|x-a\right|[/tex] En passant à la limite en A(a,a), on voit bien que les dérivées partielles de f sont existent et sont continues en A(a,a).
On sait que la différentiabilité est donnée par :
[tex]df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy[/tex], c'est ici que je ne sais plus!

MOHAMED_AIT_LH · 16-05-2011 20:17:38

Bonsoir,

Là encore pour le calcul des dérivées partielles, il faut distinguer 3 cas :

L'ouvert [tex](x,y) \in U[/tex] et [tex]x>y[/tex]

l'ouvert [tex](x,y) \in U[/tex] et [tex]x<y[/tex]

La partie [tex](x,y) \in U[/tex] et [tex]x=y=a[/tex] et là inspire toi de la méthode utilisée pour la continuité

Il faut calculer (si elle existe) [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,a)-f(a,a)}{h}[/tex]

et aussi [tex]\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a,a + h)-f(a,a)}{h}[/tex]

Ce sont ces limites qui vont t'informer sur l'existence (et les valeurs éventuelles) de [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a,a)[/tex] et [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(a,a)[/tex]

La source de l'erreur en calcul différentiel c'est de ne pas se conformer à la régle d'or suivante :

""Travailler toujours dans un ouvert" .

Ainsi toi tu as déduit la differentiabilité au point (a,a) de formules donnée sur une partie qui n'est pas ouverte à savoir [tex]\{(x,y) \in U / x \leq y \}[/tex]

Or quand on parle de limite la variable qui tends vers (a,a) se ballade dans tout un disque (voir figure) ....

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (16-05-2011 20:28:41)

Groupoid Kid · 16-05-2011 20:34:50

Houuuulàlàlà ! On va reprendre doucement si tu veux bien.

D'abord, f n'est pas définie sur un intervalle, mais sur un ouvert de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] : [tex]U=]0,1[ \times ]0,1[[/tex]. Cet ouvert n'est pas plat (1-dimensionnel), on peut l'assimiler à un disque (2-dimensionnel). Dans ton cours, on a dû bien insister sur le fait qu'entre la dimension 1 et les dimensions supérieures, les notions de continuité et de différentiabilité deviennent atrocement plus compliquées.

Ensuite, relis bien la réponse de Mohamed (du 12 mai). Il faut étudier la continuité partout dans U. Si on doit le faire point par point, ça va vite devenir fastidieux, on essaie donc autant que possible de prendre des raccourcis. C'est pourquoi Mohamed a d'abord commencé par découper l'ouvert en 3 parties : les ouverts [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], et le "segment" diagonal [tex]U_3[/tex].
Pourquoi ce découpage ? Eh bien dans [tex]U_1[/tex], on a [tex]f(x,y)=y-xy[/tex], c'est un polynôme donc c'est partout [tex]C^{\infty}[/tex]. Même chose dans [tex]U_2[/tex] (mis à part que le polynôme n'est plus le même : [tex]f(x,y)=x-xy[/tex]). Comme ce sont des ouverts, et que la continuité est une propriété locale (il suffit de la vérifier sur un seul voisinage pour qu'elle soit vraie en le point), on obtient que f est continue en tout point de [tex]U_1\cup U_2[/tex]. Il ne reste donc plus qu'à regarder ce qui se passe pour les points de [tex]U_3[/tex], autrement dit les points de la forme A(a,a).

Et là l'affaire se corse : on n'est pas dans [tex]\mathbb{R}[/tex] où il suffit de regarder comment qu'ça s'passe quand on arrive à gauche, et comment qu'ça s'passe quand on arrive à droite. Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] il y a une infinité de façons de tendre vers un point : par la droite, la gauche, le haut, le bas, en diagonale, en faisant des spirales, ou même en dansant la gigue.
Comme les points [tex]A\in U_3[/tex] ont des voisins infiniment proches dans chacun de deux ouverts [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], il faut tenir compte du fait qu'on ne *sait pas* comment on arrive sur notre point A, et que donc les deux formules données pour f peuvent intervenir chacune leur tour à tout moment quand on approche de A. Il faut donc faire un bidouillage à grande échelle comme celui proposé par Mohamed pour s'en sortir (réponse du 13 à 16h).

Ensuite pour la différentiabilité, retiens au moins ceci : MEME dans [tex]\mathbb{R}[/tex], ce n'est pas parce que f' existe que f est dérivable. C'est le CONTRAIRE.
Que signifie dans [tex]\mathbb{R}[/tex] d'être dérivable ? Il existe une limite gnagnagna... Bof. Une fonction f est dérivable en un point a si en ce point, il existe une droite qui est tangente à la courbe au point (a,f(a)). Mieux. De façon analytique, on demande que f puisse être approximée à l'ordre 1 au voisinage de a par une fonction affine :
[tex]f(x)=f(a)+coef\times (x-a)+o(x-a)[/tex]
Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex], c'est cette version qui s'applique. f est dérivable au point (a,b) si on peut l'approcher au voisinage de ce point par une fonction affine :
[tex]f(x,y)=f(a,b)+L(\left[\begin{array}{c}x-a &y-b\end{array}\right])+o(x-a,y-b)\quad (*)[/tex]
Donc si tu dois monter que f est dérivable au point (a,a), il te faut trouver une fonction linéaire à 2 variables (une matrice 2x2 quoi) telle que (*) soit vraie. Bien sûr, on se sert rarement de cette définition pour montrer que quelque chose est différentiable, mais elle est utile pour montrer que quelque chose N'EST PAS différentiable (par l'absurde... cette remarque te sera utile ;-) ).

Il existe toutefois un théorème, celui que tu tentes d'appliquer :

Si tu es dans un ouvert, que les dérivées partielles existent en tout point, qu'elles sont continues en tant que fonction des deux variables ([tex](x,y)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)[/tex]),
Alors la fonction est partout différentiable dans cet ouvert

Sauf que dans notre cas, pas de bol, ça ne marche pas. Pourquoi ? Eh bien tout simplement parce que contrairement à ce que tu dis, on n'a pas [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=1-y,\,si\,x=y[/tex]. Ça n'est vrai que là où tu peux appliquer ta formule de dérivation, c'est-à-dire dans un ouvert, en l'occurence l'intérieur de ton ensemble [tex]U_2[/tex] (x<y). Tu ne PEUX PAS dériver le long de [tex]\{x=y\}[/tex] (du moins pas sans te justifier), parce que pour ça il faudrait pouvoir aller "un peu plus loin" que la droite [tex]\{x=y\}[/tex], autrement dit empiéter dans [tex]U_1[/tex], mais là la formule de f n'est plus la même.
Tu l'as d'ailleurs démontré à ton insu : tu as donné deux valeurs différentes de [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a,a)[/tex] ! ^^

Hum... Désolé pour le pavé.

EDIT : grillé par Mohamed ^^

Dernière modification par Groupoid Kid (16-05-2011 20:35:31)

MOHAMED_AIT_LH · 16-05-2011 20:44:23

Bonsoir

à Groupoid Kid : Merci , merci : Valentin en lisant ça va certainement enlever davantage de confusions ( je l'invite à te lire attentivement) (pardon : je suis sur le point de sortire et j'étais succint!)

à bientôt !

Valentin · 17-05-2011 12:20:27

Bonjour,
On étudie la différentiabilité aux points A(a,a) où la fonction f est continue.
Je regarde d'abord les dérivées partielles aux points A(a,a).
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a+h,a\right)-f\left(a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{\left(a+h\right)\left(1-a\right)-a\left(1-a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(1-a\right)=1-a,\,si\,x\leq y.[/tex]
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a,a+h\right)-f\left(a,a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{a\left(1-a-h\right)-a\left(1-a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(-a\right)=-a,\,si\,x\leq y[/tex]
de même pour x>y, on a:
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a+h,a\right)-f\left(a,a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{a\left(1-a-h\right)-a\left(1-a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{-ah}{h}\right)=-a[/tex]
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a,a+h\right)-f\left(a,a\right)}{h}\right)=1-a[/tex]
continuité de dérivées :
[tex]pour\,x\leq y,\,\left|\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|x\left(1-y\right)-\left(1-a\right)\right|=\left|x-xy-1+a\right|[/tex]
[tex]pour\,x>y,\,\left|\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|y\left(1-x\right)+a\right|=\left|y-xy+a\right|[/tex]
on remarque déjà que [tex]\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}\,ne\,tend\,pas\,vers\,\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\,quand\,\left(x,y\right)\rightarrow \left(a,a\right)[/tex]
idem pour l'autre dérivée partielle. Donc f' n'est pas continue en (a,a).

Valentin · 17-05-2011 12:41:03

f est-il différentiable?
on a, [tex]f\left(A+h\right)=f\left(a,a\right)+df\left(h\right)+\left\|h\right\|\epsilon \left(h\right)[/tex]
[tex]pour\,x\leq y,\,f\left(a+{h}_{1},a+{h}_{2}\right)=a\left(1-a\right)+\left(\left(1-a\right){h}_{1}-a{h}_{2}\right)+\left\|{h}_{1},{h}_{2}\right\|\epsilon \left(h\right)[/tex].
[tex]\left(a+{h}_{1}\right)\left(1-a-{h}_{2}\right)=a\left(1-a\right)+\left(1-a\right){h}_{1}-a{h}_{2}+\left\|h\right\|\epsilon \left(h\right)[/tex].
déjà est -ce que c'est correct?

MOHAMED_AIT_LH · 17-05-2011 19:00:55

Bonjour,
Tu n'as pas profité, Valentin, des longs exposés ci-dessus..

Il est visible (déclaré par Groupoid) que [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a,a)[/tex] n'existe pas
N'oublie pas que c'est une limite quand h tends vers 0 et utilise les mots clef : limite quand h tends vers 0 A DROITE , et A AGUCHE
(une limite existe si les deux existent et sont égales ...)

Valentin · 18-05-2011 11:51:29

Bonjour,
Comme j'ai 2 limites différentes de [tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}[/tex], alors f'(a,a) n'existe pas en ces points. f n'est donc pas différentiable en (a,a)!

MOHAMED_AIT_LH · 18-05-2011 16:20:07

BOnjour,

Bonjour Valentin,

Dans toute rigueur , il vaut mieux dire

Comme la fonction [tex]h \mapsto \frac{f(a+h,a)-f(a)}{h}[/tex] n'admet pas de limite quand [tex]h[/tex] tends vers [tex]0[/tex] (car elle admet une limite quand [tex]h[/tex] tends vers [tex]0[/tex] à droite et une limite quand [tex]h[/tex] tends vers [tex]0[/tex] à gauche et celles-ci sont distinctes) , la fonction [tex]f[/tex] n'admet pas la premiére dérivée partielle au point [tex](a,a)[/tex]. En particulier, [tex]f[/tex] n'est pas differentiable au point [tex](a,a)[/tex].

Valentin · 20-05-2011 13:09:39

Bonjour,
Merci beaucoup Mohamed pour tout, et merci à tous. Ce site est un très bon site, il nous aide beaucoup à aller plus loin, à ne pas seulement nous contenter de nos cours, mais approfondire et voir d'autres méthodes de travail.
Valentin

MOHAMED_AIT_LH · 22-05-2011 02:55:59

Bonjour,

N'oublions pas la remarque de Groupoid Kid, ayant traduit les expressions décrivant la fonction à l'aide de la fonction [tex]\max[/tex]
Tu peux, Valentin, jetter un coup d'oeil à tavers ce line pour enrichir davantage ta conception et ton expérience en matière de ce genre de fonctions

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#1 10-05-2011 07:59:15

extrema, continuité et différentiabilité

#2 10-05-2011 14:00:22

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#4 10-05-2011 21:17:08

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