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raphael.thiers

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Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Bonjour,

Je m'intéresse à l'exercice 4.12 p198 de l'ouvrage de Mohamed El Amarani sur l'analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

L'auteur considère la fonction $2\pi$-périodique dont la restriction à $[0,2\pi[$ est définie ainsi :
si $x\in ]0,2\pi[ f(x)=-ln(2sin\frac{x}{2})$ sinon $f(x)=0$

On cherche la série de Fourier de f.

A partir d'un développement en série entière, on arrive à montrer que  $\forall \in ]0,2\pi[ ~-ln(2sin\frac{x}{2})=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{cos nx}{n}$

mais l'auteur s'arrête ici . Or il me semble qu'il faut encore prouver que $(\frac{1}{n})_{n\in \mathbb{N}^*}$ est bien la suite $(a_n)$ des coefficients réels de  Fourier(avec $ a_0=0$, et tous les $b_n=0$ ).

Voici ce que je propose à partir de l'égalité issue du théorème d'Abel : $\lim _{r \rightarrow 1-} \sum_{n=1}^ {+\infty} \frac{r^n}{n} cos (nx)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos (nx)}{n}$

$a_p=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\lim _{r \rightarrow 1-} \sum_{n=1}^ {+\infty} \frac{r^n}{n} cos (nx) cos(px) dx$

Par convergence uniforme par rapport à la  variable $0 <r<1$, on peut faire une première intervention limite et intégrale :$a_p=\lim _{r \rightarrow 1-}\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \sum_{n=1}^ {+\infty} \frac{r^n}{n} cos (nx) cos(px) dx$

Par convergence uniforme sur $[0,2\pi]$ par rapport à la variable $x$ sous le $\sum$ on peut faire une intervention de $\int$  et $\sum $ d'où$a_p=\lim _{r \rightarrow 1-}\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^ {+\infty} \int_0^{2\pi} \frac{r^n}{n} cos (nx) cos(px) dx= \lim _{r \rightarrow 1-} \frac{r^p}{p} =\frac{1}{p}$

Qu'en pensez vous ? Peux t'on faire plus rapide ?
Merci par avance !

Chlore au quinoa

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Salut !

Plus rapide je ne sais pas, plus simple probablement au vu des théorèmes compliqués que tu utilises ! En tout cas félicitations pour tes belles justifications d'interversion $\sum$ et $\int$ ou avec la limite, c'est rare de nos jours !

Tout ce que tu as fait me semble correct ! Je relis et cherche un peu pour voir si je trouve plus facile !

Adam ;)

raphael.thiers

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Merci Adam, je suis en effet curieux de savoir si il y a une solution plus immédiate au moyen de "ruses" de calcul intégral. Rien de m'a sauté aux yeux dans ce sens.

Raphaël

Zebulor

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Hello !
Peut être une piste - je ne sais pas si elle est plus rapide - : $\frac{cos nx}{n}=Re(\frac{e^{inx}}{n})$ et poser $X=e^{ix}$.
Puis connaissant le développement en série entière de $ln(1-X)$ on doit pouvoir y arriver ...
Sinon de $ ~-ln(2sin\frac{x}{2})$ - démarche équivalente - écrire le sin sous forme d'exponentielle complexe.

Dernière modification par Zebulor (03-01-2022 10:17:40)

raphael.thiers

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Bonsoir Zébulor,

Le problème c'est que le développement en série entière complexe de $log(1+z)$ (avec la détermination principale du logarithme)  n'est défini que pour |z|< 1, d'ou l'astuce de s'intéresser à $log(1-re^{i\theta})$ avec $0\le r<1$; le problème est le même avec ta deuxième piste.

Raphaël

Zebulor

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Bonsoir Raphael,
je ne suis pas sur d'avoir bien cerné ton problème.. alors je relis ton premier post..
Veux tu montrer d'une autre manière que $\forall x \in ]0,2\pi[ ~-ln(2sin\frac{x}{2})=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{cos nx}{n}$ ?

Dernière modification par Zebulor (03-01-2022 19:15:00)

raphael.thiers

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

non , mon soucis c'était plus de vérifier que j'avais bien ici la série de Fourier de $f$ (cf le titre de mon post); car pour moi l'égalité fonctionnelle sur $\mathbb{R} \setminus 2\pi \mathbb{Z}$ n'est pas suffisante; il faut vraiment prouver à la main que les coefficients de Fourier coïncident, soit ici prouver que $a_n=\frac{1}{n}$ pour $n> 0$ .

Fred

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Bonjour,

  Je pense qu'on peut avoir une preuve un peu plus conceptuelle.
La série $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(nx)}{n}$ converge dans $L^2([0,2\pi])$ (car $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}$ converge).
Soit $g$ sa limite dans $L^2$. Puisque la convergence dans $L^2$ entraîne la convergence presque sûre d'une sous-suite, on sait que
$g=-\ln(2\sin(x/2))$ presque sûrement, et donc que
$$\int_{0}^{2\pi}\left|\sum_{n=1}^N \frac{\cos(nx)}{n}-g(x)\right|^2dx\xrightarrow{N\to+\infty}0.$$

Par l'inégalité de Hölder, on en déduit que

$$\int_{0}^{2\pi}\left(\sum_{n=1}^N \frac{\cos(nx)}{n}-g(x)\right)e^{imx}dx\xrightarrow{N\to+\infty}0$$

ce qui permet de conclure.

Ceux qui veulent comprendre un peu la subtilité de la question pourront lire cet exercice.

F.

raphael.thiers

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

Bonjour Fred,
Je te remercie pour cette résolution qui se passe du théorème d'Abel.
juste une précision : ne peux t'on pas passer directement de $g$ est limite pour $N\rightarrow +\infty$ de $x \rightarrow \sum_{n=1}^{N}\frac{cos(nx)}{n}$  dans  $L^2[0,2\pi]$
à $\int_{0}^{2\pi}\left|\sum_{n=1}^N \frac{\cos(nx)}{n}-g(x)\right|^2dx\xrightarrow{N\to+\infty}0$

Pourquoi parler de la convergence presque sûre etc .. ?

Fred

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Re : Vérification qu'un série trigonométrique est de Fourier

C'est juste pour identifier $g$ avec la fonction qui t'intéresse. Mais peut-être qu'on peut s'en passer tout de même, je n'ai pas forcément réfléchi très longtemps!