Une série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier... - Bibm@th.net

Exercice 1 - Une série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier... ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

1. Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que $c_n(f)\geq 0$ pour tout $n\in\mtz$. Justifier que $\sum_{n\in\mtz}c_n(f)<+\infty$ - on pourra écrire $$\sum_{n\in\mtz}c_n=\sum_{n\in\mtz}\liminf_{N\to+\infty}\left(1-\frac{|n|}{N}\right)^+c_n,$$ et utiliser le théorème de F....
2. Soit $\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln n}\sin(nt)$. Justifier que cette série trigonométrique converge pour tout $t\in\mtr$.
3. Soit $\sum_{1}^{+\infty} a_n \sin(nt)$ une série trigonométrique, où $a_n\geq 0$ pour tout $n\geq 1$. On suppose que cette série est la série de Fourier de $f\in L^1(\mathbb T)$, c'est-à-dire que $c_0(f)=0$, $c_n(f)=\frac{a_n}{2i}$ si $n\geq 1$ et $c_{-n}(f)=\frac{-a_n}{2i}$ si $n\geq 1$. Soit $F=\int_0^t f(u)du$. Calculer $c_n(F)$, et en déduire que $\sum_{1}^{+\infty}\frac{a_n}{n}<+\infty.$
4. Montrer que la série trigonométrique (partout convergente) $\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln n}\sin(nt)$ n'est pas une série de Fourier.

Corrigé

1. En écrivant comme dans l'énoncé et en utilisant le théorème de Fatou, on a $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\leq\liminf_{N\to+\infty}\sum_{n=-N}^N \left(1-\frac{n}{N}\right)c_n.$$ Maintenant, la quantité de droite (à l'intérieur de la limite) est exactement $\sigma_N(f)(0)$, et cette quantité tend vers $f(0)$.
2. Pour $t\in2\pi\mtz$, c'est clair (le sinus est nul). Sinon, cela résulte d'une transformation d'Abel. En effet, les sommes $S_N=\sum_{n=1}^N \sin(nt)$ sont bornées (utiliser $\sin(nt)=\textrm{Im}(e^{int})$. On a aussi \begin{align*} \frac{1}{\ln n}-\frac 1{\ln (n+1)}&=\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln n+\ln(1+1/n)}\\ &=\frac{\ln(1+1/n)-1}{\ln n\times\big( \ln n+\ln(1+1/n)\big)}\\ &\sim_{+\infty} \frac{1}{n\ln ^2 n} \end{align*} et la série $\sum\frac{1}{n\ln^2 n}$ est convergente.
3. Une intégration par parties entraîne que $c_n(F)=\frac{c_n(f)}{i\pi}$, et donc $c_{|n|}(F)=\frac{-a_{|n|}}{2|n|}$ pour $|n|\geq 1$. En vertu de la réponse à la question 1, on en déduit $\sum_1^{+\infty}\frac{a_n}{n}<+\infty.$
4. Résulte de la question précédente et du fait que $\sum\frac{1}{n\ln n}=+\infty$.