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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 05-01-2022 09:49:26
C'est juste pour identifier $g$ avec la fonction qui t'intéresse. Mais peut-être qu'on peut s'en passer tout de même, je n'ai pas forcément réfléchi très longtemps!
- raphael.thiers
- 05-01-2022 09:05:18
Bonjour Fred,
Je te remercie pour cette résolution qui se passe du théorème d'Abel.
juste une précision : ne peux t'on pas passer directement de $g$ est limite pour $N\rightarrow +\infty$ de $x \rightarrow \sum_{n=1}^{N}\frac{cos(nx)}{n}$ dans $L^2[0,2\pi]$
à $\int_{0}^{2\pi}\left|\sum_{n=1}^N \frac{\cos(nx)}{n}-g(x)\right|^2dx\xrightarrow{N\to+\infty}0$
Pourquoi parler de la convergence presque sûre etc .. ?
- Fred
- 03-01-2022 21:59:26
Bonjour,
Je pense qu'on peut avoir une preuve un peu plus conceptuelle.
La série $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(nx)}{n}$ converge dans $L^2([0,2\pi])$ (car $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}$ converge).
Soit $g$ sa limite dans $L^2$. Puisque la convergence dans $L^2$ entraîne la convergence presque sûre d'une sous-suite, on sait que
$g=-\ln(2\sin(x/2))$ presque sûrement, et donc que
$$\int_{0}^{2\pi}\left|\sum_{n=1}^N \frac{\cos(nx)}{n}-g(x)\right|^2dx\xrightarrow{N\to+\infty}0.$$
Par l'inégalité de Hölder, on en déduit que
$$\int_{0}^{2\pi}\left(\sum_{n=1}^N \frac{\cos(nx)}{n}-g(x)\right)e^{imx}dx\xrightarrow{N\to+\infty}0$$
ce qui permet de conclure.
Ceux qui veulent comprendre un peu la subtilité de la question pourront lire cet exercice.
F.
- raphael.thiers
- 03-01-2022 19:35:36
non , mon soucis c'était plus de vérifier que j'avais bien ici la série de Fourier de $f$ (cf le titre de mon post); car pour moi l'égalité fonctionnelle sur $\mathbb{R} \setminus 2\pi \mathbb{Z}$ n'est pas suffisante; il faut vraiment prouver à la main que les coefficients de Fourier coïncident, soit ici prouver que $a_n=\frac{1}{n}$ pour $n> 0$ .
- Zebulor
- 03-01-2022 18:29:13
Bonsoir Raphael,
je ne suis pas sur d'avoir bien cerné ton problème.. alors je relis ton premier post..
Veux tu montrer d'une autre manière que $\forall x \in ]0,2\pi[ ~-ln(2sin\frac{x}{2})=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{cos nx}{n}$ ?
- raphael.thiers
- 03-01-2022 18:21:24
Bonsoir Zébulor,
Le problème c'est que le développement en série entière complexe de $log(1+z)$ (avec la détermination principale du logarithme) n'est défini que pour |z|< 1, d'ou l'astuce de s'intéresser à $log(1-re^{i\theta})$ avec $0\le r<1$; le problème est le même avec ta deuxième piste.
Raphaël
- Zebulor
- 01-01-2022 16:36:26
Hello !
Peut être une piste - je ne sais pas si elle est plus rapide - : $\frac{cos nx}{n}=Re(\frac{e^{inx}}{n})$ et poser $X=e^{ix}$.
Puis connaissant le développement en série entière de $ln(1-X)$ on doit pouvoir y arriver ...
Sinon de $ ~-ln(2sin\frac{x}{2})$ - démarche équivalente - écrire le sin sous forme d'exponentielle complexe.
- raphael.thiers
- 01-01-2022 14:42:28
Merci Adam, je suis en effet curieux de savoir si il y a une solution plus immédiate au moyen de "ruses" de calcul intégral. Rien de m'a sauté aux yeux dans ce sens.
Raphaël
- Chlore au quinoa
- 31-12-2021 18:11:47
Salut !
Plus rapide je ne sais pas, plus simple probablement au vu des théorèmes compliqués que tu utilises ! En tout cas félicitations pour tes belles justifications d'interversion $\sum$ et $\int$ ou avec la limite, c'est rare de nos jours !
Tout ce que tu as fait me semble correct ! Je relis et cherche un peu pour voir si je trouve plus facile !
Adam ;)
- raphael.thiers
- 31-12-2021 16:54:30
Bonjour,
Je m'intéresse à l'exercice 4.12 p198 de l'ouvrage de Mohamed El Amarani sur l'analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels
L'auteur considère la fonction $2\pi$-périodique dont la restriction à $[0,2\pi[$ est définie ainsi :
si $x\in ]0,2\pi[ f(x)=-ln(2sin\frac{x}{2})$ sinon $f(x)=0$
On cherche la série de Fourier de f.
A partir d'un développement en série entière, on arrive à montrer que $\forall \in ]0,2\pi[ ~-ln(2sin\frac{x}{2})=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{cos nx}{n}$
mais l'auteur s'arrête ici . Or il me semble qu'il faut encore prouver que $(\frac{1}{n})_{n\in \mathbb{N}^*}$ est bien la suite $(a_n)$ des coefficients réels de Fourier(avec $ a_0=0$, et tous les $b_n=0$ ).
Voici ce que je propose à partir de l'égalité issue du théorème d'Abel : $\lim _{r \rightarrow 1-} \sum_{n=1}^ {+\infty} \frac{r^n}{n} cos (nx)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos (nx)}{n}$
$a_p=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\lim _{r \rightarrow 1-} \sum_{n=1}^ {+\infty} \frac{r^n}{n} cos (nx) cos(px) dx$
Par convergence uniforme par rapport à la variable $0 <r<1$, on peut faire une première intervention limite et intégrale :$a_p=\lim _{r \rightarrow 1-}\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \sum_{n=1}^ {+\infty} \frac{r^n}{n} cos (nx) cos(px) dx$
Par convergence uniforme sur $[0,2\pi]$ par rapport à la variable $x$ sous le $\sum$ on peut faire une intervention de $\int$ et $\sum $ d'où$a_p=\lim _{r \rightarrow 1-}\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^ {+\infty} \int_0^{2\pi} \frac{r^n}{n} cos (nx) cos(px) dx= \lim _{r \rightarrow 1-} \frac{r^p}{p} =\frac{1}{p}$
Qu'en pensez vous ? Peux t'on faire plus rapide ?
Merci par avance !